Обратная задача ВТК для НВТП. Решение обратной задачи ВТК состоит в нахождении зависимости h распределения электропроводности по глубине пластины используя набор из N измеренных с помощью НВТП вносимых напряжений.
Математически обратную задачу можно представить интегральным уравнением 4.1 Поскольку явного метода решения уравнения 4.1 не существует, применим к нему метод квазирешения п5.3.2 . В постановке для локального в смысле Чебышева критерия получим корректную задачу минимизации функционала невязки, i 1,N 4.2 Учет априорной информации в обратной задачи ВТК удобно проводить в виде интервала min, max, которому могут принадлежать значения электропроводности.
В этом случае можно рассматривать задачу 4.2 как задачу нелинейного программирования вида 4.3 Заметим, что поскольку ограничения в задаче 4.3 являются линейными, разумным представляется применение метода условного градиента п6.2.1 . Рассмотрим процесс решения системы 4.3 в предположении, что электропроводность аппроксимируется по узловым значениям j, j 1,M. 4.4 Линеаризуем функционал Ф в окрестности исследуемой точки 0 разложив его в ряд Тейлора с использованием только первых производных. 4.5 Пусть y maxФi Фp 0. В этом случае мы можем свести задачу 4.4 к эквивалентной задаче линейного программирования, состоящей в условной минимизации функции y. Рассмотрим процесс приведения задачи линейного программирования к каноническому виду. Раскрывая модуль в 4.5 получаем систему уравнений 4.6 Рассмотрим выражение под модулем в 4.5 и введем некоторые обозначения 4.7 4.8 4.9 4.10 С учетом системы 4.8 - 4.10 постановка задачи 4.4 принимает вид 4.11 Раскрывая скобки в 4.11 и исключая y из первых 2N неравенств кроме р-го получаем систему неравенств 4.12 Приведем систему неравенств 4.12 к каноническому виду 6.1 . Для этого, в соответствии со стандартным подходом, запишем все неравенства в виде равенств, добавляя в левые части неравенств неотрицательные переменные v. 4.13 В матричном виде полученная система имеет вид Ax b 4.14 , где искомый вектор-столбец из 2 N M 1 элементов имеет вид x y, z1 zM , v1 v2N M T. В системе линейных алгебраических уравнений 4.13 параметр минимизации y определен строкой с номером p, которую в дальнейшем будем называть базовой.
Рассмотрим алгоритм симплексного метода для решения задачи 4.14 1. Выбор начального базиса - допустимого решения 4.14 . В нашем случае базис должен состоять из 2N M переменных.
Удобно задать начальный базис, присвоив дополнительным переменным vi значения правых частей bi тех строк, в которых коэффициент матрицы A при них равен 1. Начальное значение параметра минимизации y равно значению правой части базовой строки.
Все остальные компоненты искомого вектора х принимаются равными нулю. 2. Определение переменной, которая должна войти в очередной пробный базис.
Для этого проводится анализ базовой строки p матрицы A. Из всех положительных элементов строки p, не являющихся коэффициентами при базисных переменных, выбирается элемент с наибольшим значением.
Переменная, у которой этот элемент является коэффициентом, должен войти в очередной пробный базис, т.е. за новую базисную переменную принимается та, которая имеет наибольший вес в функции y. Если в базовой строке p нет небазисных переменных с положительными коэффициентами, то в силу не отрицательности элементов х следует сделать вывод, что оптимальному решению, т.е. минимуму y соответствует выбранный ранее базис.
Вычисления завершаются также и при запрете изменения переменных по ограничениям. 3. Определение максимальной допустимой величины новой базисной переменной, не выходящей за пределы имеющихся ограничений.
Вычисляются отношения значений правых частей 4.14 к соответствующим значениям коэффициентов при новой базисной переменной во всех строках, кроме базовой.
При этом не рассматриваются отношения, в которых знаменатель равен нулю или отрицателен, т.е. при положительной правой части подобные случаи соответствуют бесконечным значениям переменных.
Определяется номер строки q, где это отношение наименьшее.
Новой базисной переменной присваивается значение отношения в строке q. Переменная, входившая в прежний базис и определявшаяся строкой q, исключается из базиса и приравнивается нулю. Если во всех строках, кроме базовой, коэффициенты при новой переменной равны нулю или отрицательны, то в силу не отрицательности элементов х и ограничения базиса 2N M переменными, следует признать, что эта переменная не может на данном шаге вычислений войти в базис.
В этом случае необходимо вернуться к пункту 2, не рассматривая запрещенную переменную. 4. Преобразование системы 4.14 таким образом, чтобы в строке q коэффициент при вновь введенном параметре был равен 1, а в остальных строках - 0. Это достигается путем линейных преобразований равенств, входящих в 4.14 . Т.к. коэффициенты при параметрах, входящих в новое пробное базисное решение, становятся равными 1 и в каждую строку входит только один базисный параметр, то значение нового базиса определяется правой частью уравнений.
Далее следует возврат к пункту 2. Решая систему 4.14 находим вектор min, соответствующий текущему решению задачи 4.13 . Возвращаясь к методу условного градиента отметим, что направление спуска определяется как -sn min - 0 , а очередное итерационное решение задачи 4.3 определяется выражением n 1 n - sn. Для получения окончательного результата требуется определить оптимальную величину шага в направлении sn, что можно осуществить путем одномерной минимизации функции n - sn методом золотого сечения. 5. Некорректные задачи 5.1 Основные понятия.
Корректность по Адамару В самом общем виде большинство обратных задач может быть представлено в виде операторного уравнения A x f, x X , f F 5.1 где А - оператор, определенный на непустом множестве некоторого метрического пространства Х с метрикой X и действующий в метрическое пространство F с метрикой F, а по заданному элементу f требуется определить решение х 10-14 . Введем в пространстве X норму x xi2 и в пространстве F норму f fj2. Заметим, что метрики в соответствующих пространствах будут иметь вид x, y x-y. В нашем случае обозначения в 5.1 имеют следующий смысл А - оператор, согласно которому вычисляется величина относительного напряжения, вносимого пластиной с электрической проводимостью h х h - электрическая проводимость пластины как функция глубины f U вн - величина относительного вносимого напряжения НВТП Согласно классического определения задача 5.1 называется корректной по Адамару если при любой фиксированной правой части ее решение существует в Х единственно в Х непрерывно зависит от f В реальных условиях правая часть 5.1 известна всегда с некоторой погрешностью, т.е. f f0 f, причем обычно f0 принадлежит пространству гладких функций, а погрешность f выводит ее из этого класса.
Вследствие этого получаем постановку задачи, для решения которой невозможно применение обычных методов решения корректных задач, т.к. любой фиксированной правой части 5.1 соответствует бесконечное множество наборов исходных данных т.е. возможных распределений ЭП по глубине пластины. 5.2