Свободное поперечное колебание стержня. Получим уравнение для колебания поперечного стержня. Предположим, что стержень изогнулся следующим образом Выделим какую-то часть, которая находится на расстоянии y от срединной линии. dS - площадь поперечного сечения стержня.
Срединная линия элемента не сжимается и не растягивается. d - угол изгиба. Rкрив - радиус кривизны, так как форма деформации представляет собой окружность. Длина срединной линии Длина выделенного сегмента Относительная деформация выделенного сегмента при поперечных колебаниях стержня Сила, растягивающая выделенный сегмент где - напряжение в элементе. Найдем изгибающий момент силы по формуле Полный момент Поперечный момент в сечении Если изгиб мал, то Т.о. получим, что момент есть 1 Выразим момент через силы, действующие на стержень. Поскольку стержень сам совершает свободные колебания, но при этом каждый элемент движется ускоренно, то такой силой будет сила инерции.
Допустим, что действует распределенное давление. Из последней формулы можно видеть, что 2 Подставим 1 в 2 , то получим Когда стержень колеблется, каждый элемент движется ускорено.
На любой элемент действует инерционная сила. Е по сечению постоянно. Уравнение свободно изгибающего колебательного стержня Решение уравнения ищем в виде стоячих волн. Обозначим Решения ищут с помощью. Ошибка! Ошибка связи. Общее решение имеет вид Примеры решения этой задачи. 1 Балка лежит на двух опорах. Учитывая систему выше, получим Уравнение имеет отличное от нуля решение, когда Знак где n 1,2,3 . Получим выражение для частот 2 Балка с одним заделанным концом. Решение - трансцендентное уравнение. 3 Балка с двумя заделанными концами. 4.7