Об устойчивости точек либрации. Как ведет себя космическая частица, попав в малую окрестность точки либрации Li i 1, 2, 3, 4, 5 с малой относительной скоростью Останется ли она вечно вблизи точки либрации Li или за конечное время покинет малую окрестность этой точки В первом случае говорят, что точка либрации устойчива, а во втором - неустойчива.
Задача об устойчивости прямолинейных точек либрации оказалась сравнительно несложной. Она решена давно, причем с отрицательным выводом - все три точки L1 , L2 и L3 неустойчивы. Это значит, что частицы космической материи, попадающие в окрестность прямолинейной точки либрации, с течением времени выбрасываются из этой окрестности.
Вопрос об устойчивости треугольных точек либрации оказался более трудным. Рассмотрим только случай плоской круговой ограниченной задачи. Из исследований известного английского механика Э. Рауса и русского математика и механика А. Ляпунова, посвященных общей неограниченной задаче трех тел, следует, что для устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел необходимо, чтобы отношение масс притягивающих точек m m2 m1 m2 было малым.
Более точно, требуется выполнение неравенства 2, то есть 0 m 9 - 18 0,038 520 8 До Э. Рауса и А. Ляпунова неравенство 2 упоминалось в одной статье Г. Гашо, опубликованной в 1843 году. Условие 2 было получено из анализа линейных уравнений движения точки P малой массы в окрестности вершины равностороннего треугольника. Но в математической теории устойчивости движения доказано, что во многих случаях к ним относится и рассматриваемая задача при условии 2 исследования линейных уравнений недостаточно для получения окончательных строгих выводов об устойчивости движение, устойчивое в линейной задаче как говорят специалисты по устойчивости, при выполнении необходимых условий, может быть неустойчивым в полной нелинейной задаче.
Поэтому и после исследований Рауса и Ляпунова вопрос об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел оставался открытым еще около ста лет. Возможность продвижения в исследовании этой задачи возникла лет сорок назад.
К тому времени трудами советских ученых А. Колмогорова и В. Арнольда и американского математика Ю. Мозера были получены новые принципиальные результаты в общей теории гамильтоновых систем к таким системам относится большинство систем, изучаемых в небесной механике, в том числе и задача трех тел. Опираясь на эти результаты, А. Леонтович в 1962 году показал, что для всех значений отношения масс, удовлетворяющих условию 2, имеет место устойчивость, кроме, может быть, некоторого дискретного множества значений этого отношения. Несколько позднее, в 1967 году, американские ученые супруги Андре и Бартоломе Депри доказали, что это исключительное множество состоит всего из трех значений m, при которых результаты теории Колмогорова-Арнольда-Мозера неприменимы.
Окончательный результат был получен в 1968 году и опубликован в 1969 году. Оказалось, что треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел устойчивы при всех значениях m из области 2, кроме двух значений, при которых имеет место неустойчивость.
В задаче об устойчивости треугольных решений Лагранжа в других вариантах задачи трех тел пространственном, эллиптическом к настоящему времени также достигнуто значительное продвижение, но полного решения задачи нет до сих пор.