Исходные данные. Сплошной равносторонний треугольник со стороной, имеющий массу вращается вокруг шарнира. В точке – середине канала, на пружине жёсткостью закреплён шарик массой. При вращении треугольника шарик может совершать колебательные движения вдоль канала. Рисунок 1. Схема механической системы 2. Исследование относительного движения материальной точки Движение материальной точки в подвижной системе отсчета описывается дифференциальным уравнением относительного движения: Здесь – относительное ускорение материальной точки; – сумма всех внешних и внутренних сил; и – переносная и кориолисова силы инерции соответственно. Свяжем подвижную систему отсчета с движущимся вдоль канала шариком.
Ось проведём вдоль канала, причём возрастание координаты сонаправленно с движением шарика относительно трубки; а ось направим перпендикулярно ей. Вращение треугольника вместе с системой координат вокруг шарнира является переносным движением для шарика.
Относительным движением является его перемещение вдоль канала. Дифференциальное уравнение движения (2.1) для данной системы примет вид: (2.2) Рисунок 1. Исследование относительного движения материальной точки Абсолютные значения сил: Возьмём проекцию дифференциального уравнения относительного движения (2.2) на координатную ось подвижной системы координат: Радиус переносного вращения шарика: С учётом значений сил и формулы (2.4), уравнение (2.3) принимает вид: Отсюда получаем значение реакции связи : (2.5) В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 2). Теперь спроецируем дифференциальное уравнение (2.2) на координатную ось : (2.6) При подстановке известных значений получим: (2.7) Приведём (2.7) к следующему виду: (2.8) Здесь – это собственная частота.
Для нахождения зависимости решим данное уравнение. – решение искомого дифференциального уравнения будет складываться из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения. Общее решение имеете вид: (2.9). Найдём частное решение уравнения (2.8), оно будет иметь вид:. Первая и вторая производные: Подставляя частное решение и его производные в (2.8), получим: Находим значения постоянных коэффициентов: (2.10) Тогда, исходя из (2.9) и (2.10), решение исходного дифференциального уравнения: Для определения констант интегрирования, используем начальные условия: Подставив значения и, и сгруппировав слагаемые, получим дифференциальные уравнения относительного движения шарика и его скорости: (2.11) В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 1). 3.