Составление уравнений движения системы методом Лагранжа. Уравнения второго рода являются одним из наиболее удобных приёмов составления уравнений движения механических систем.
Они имеют следующий вид: (5.1.1) Здесь – кинетическая энергия системы; , , , – обобщённые координаты, скорости и силы соответственно; – число степеней свободы.
Уравнения (5.1.1) образуют систему уравнений второго порядка относительно функций, а порядок данной системы равен. Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством инвариантности.
Как видно из (5.1.1), для получения уравнений Лагранжа необходимо найти соответствующие производные от кинетической энергии системы и определить обобщённые силы. Определим кинетическую энергию системы.
Она будет складываться из кинетических энергий треугольника и шарика: . Подставив значение из (3.1.5), получим: (5.1.2) Кинетическая энергия шарика определяется его массой и относительной и переносной скоростями: С учётом известных значений скоростей, получим: (5.1.3) Кинетическая энергия системы равна: (5.1.4) Найдём производные от кинетической энергии согласно (5.1.1): (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7) (5.1.8) Рисунок 5.1.1. Определение кинетической и потенциальной энергий системы Теперь, исходя из (5.1.1), нужно определить обобщённые силы. Данная механическая система является консервативной, мы можем определить обобщённые силы через потенциальную энергию по формуле: (5.1.9) Найдём потенциальную энергию.
Она будет складываться из работ консервативных сил по перемещению тела из нулевого положения: . За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начальный момент времени, при : – энергия положения шарика; – энергия положения прямоугольника; – потенциальная энергия силы упругости; Потенциальная энергия системы равна: (5.1.10) Найдём обобщённые силы: (5.1.11) (5.1.12) Теперь можем записать систему уравнений Лагранжа II рода: (5.1.13) (5.1.14) 5.2