Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки. и (5.1.14) – это система уравнений Лагранжа II рода; первое из них представляет собой дифференциальное уравнение относительного движения.
При сравнении (5.1.13) с уравнением относительного движения (2.7) видно, что уравнения тождественны: (2.7) (5.1.13) 5.3 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости (5.1.14) – это уравнение уравнения движения твердого тела без ограничения на закон изменения угловой скорости вращения.
Определим величину внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение: (5.1.14) При действии внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение, уравнение (5.1.14) примет вид: (5.3.1) Отсюда: (5.2.2) Сравним с полученным ранее значением: (3.2.2) Итак, два разных способа определения внешнего момента дали один результат. 6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение.
Колебания – это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени.
В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного). Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия.
Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.
Согласно основному уравнению статики, для того чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы: (6.1) – обобщённые силы; – число обобщённых координат в механической системе.
В нашем случае механическая система находится в потенциальном силовом поле; из уравнений (6.1) получаем следующие условия равновесия: (6.2) Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Достаточные условия устойчивости положений равновесия для консервативных систем определяются теоремой Лагранжа – Дирихле: «Положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в нём потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум». Определим положения равновесия для заданной механической системы, используя ранее найденные обобщённые силы (5.1.11) и (5.1.12) из системы уравнений: (6.4) Решение системы средствами MathCAD приведено в приложении Б к курсовой работе.
Для нашей механической системы имеем: Первое положение равновесия: , . Второе положение равновесия: , . Используя теорему Лагранжа – Дирихле определяем, что первое положение равновесия является не устойчивым, а второе – устойчивым. Рисунок 6.1. Положения равновесия механической системы Найдем вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам: (6.5) Для исследования устойчивости положения равновесия необходимо исследовать на знакоопределенность матрицу жесткости, составленную из значений выражения (6.5) в этом положении равновесия. 1) Положение равновесия не устойчивое 2) Положение равновесия устойчивое