Общие нелинейные дифференциальные уравнения. Пусть u=u(x1,x2,…,xn) – функция, определенная в любой точке действительных чисел.
Градиентом u является N - вектор-функция, обозначаемая grad u и определенная следующим образом: (1) В дальнейшем будем прежде всего иметь дело с функциями, определенны¬ми в плоских областях, т.е. при N = 2. Для функции u = u (х, у) имеем (2) 5.1 Нелинейный оператор Лапласа Рассмотрим плоскую область и функцию и =и(х, у), удовлетворяющую уравнению (3) где f =f(х, у ) - заданная на функция, а р- действительное число, удовлетворяющее условию р > 1. Мы не знаем, имеет ли уравнение (3) какой-либо физический смысл.
Тем не менее оно полезно с методологической точки зрения и мы будем часто им пользоваться, чтобы проиллюстрировать различные понятия и утверждения.
Так как при р = 2 левая часть уравнения (3) представляет собой оператор Лапласа, а само уравнение (3) сводится к уравнению Пуассона, то можно называть (4) выражение нелинейным оператором Лапласа. 5.2 Уравнение Монжа—Ампера Задача отыскания поверхности, зада¬ваемой функцией и =и(х, у) для и имеющей заданную форму на границе и заданную кривизну, является типичной нелинейной зада¬чей. Она приводит к уравнению (5) и условию 5.3