Методы аппроксимации заданных характеристик

Методы аппроксимации заданных характеристик. В общем случае задача аппроксимации состоит в конструировании функций, удовлетворяющей УФР в заданном элементном базисе и воспроизводящей с требуемой точностью в рабочем интервале заданную графически (либо таблицей, либо аналитически) зависимость о(х), – варьируемые коэффициенты, значения которых и должны быть найдены в результате решения задачи аппроксимации.

Из-за недостатка времени не представляется возможным осветить все известные методы решения этой задачи. Поэтому остановимся с одной стороны на простейшей из них, имеющих достаточно большую историю их практического применения, а с другой стороны – с современными численными методами, являющимися не только универсальными, но и самыми эффективными при отыскании оптимальных решений с помощью ЭВМ. а) Интерполирование функций При интерполировании коэффициенты аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы значения заданной функции о(х) совпадали бы в некотором числе заранее выбранных точек х1, х2 хn, называемыми точками или узлами интерполирования.

Ясно, что указанное условие позволяет составить систему из N уравнений с N неизвестными Её решение позволяет определить все варьируемые параметры. Преимущества метода: - о (х) может быть задана в любой форме; - простота решения. Наряду с преимуществами, метод интерполирования обладает двумя существенными недостатками: - в ходе решения задачи аппроксимации не контролируется точность приближения функций ; - полученная аппроксимирующая функция f (x) может не удовлетворять УФР. В этом случае выбираются новые узлы интерполирования, хотя и в этом случае нет гарантии выполнения УФР. б) Аппроксимация по Тейлору.

Этот вид аппроксимации требует задания функции о (х) в виде аналитического выражения. При этом функции f (x) и о (х) должны допускать разложение в ряд Тейлора в некоторой точке x=х0. Если N – число варьируемых коэффициентов функции f (х), то в точке x=х0 должны быть равны значения функций f (х) и о (х), а также N-1 их производных младших порядков, т.е. Решив систему уравнений, найдём значения параметров (коэффициенты уравнения f (х)). Хотя такой аппроксимации присущи как и при интерполировании недостатки, однако на практике она находит широкое применение. в) Аппроксимация по Чебышеву.

Аппроксимация по Чебышеву, или равномерная наилучшая аппроксимация, формулируется как задача отыскания таких коэффициентов аппроксимирующей функции f (х), при которых наибольшее отклонение функции f (х) от заданной аналитически о (х) в интервале аппроксимации было бы минимальным, то есть находится Задача равномерного наилучшего приближения функций была впервые сформулирована великим русским математиком П.Л. Чебышевым (1821-1894), а указанные им общие методы её решения заложили основы теории приближения функций, развитой в работах наших соотечественников Е.И. Золотарёва, А.А, Макарова, С.Н. Бернштейна и др. Простейшим и наиболее полно изученным случаем чебышевской аппроксимации является задача полиномиального приближения.

Будем полагать, что функция о (х) непрерывна на заданном интервале.

Тогда оказывается справедливой следующая теорема Чебышева: Для того, чтобы полином f(х) степени n наименее отклонялся от заданной функции о(х) в интервале ха<х<хb. необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале разность достигала своих наибольших по абсолютной величине значений не менее чем n+2 раза, причём знаки этих наибольших отклонений должны чередоваться.

На рисунке 2 показан результат чебышевской аппроксимации некоторой функции о (х) алгебраическим полиномом 3-ей степени (n=3). Рисунок 2. Здесь число наибольших отклонений в интервале равно n+2=5, знаки отклонений чередуются, а по величине отклонения равны. Отметим, что отыскание полиномов f(х), отвечающим указанным требованиям, является весьма трудоемкой задачей. В случаях, когда функция о(х) задана в табличной или графической форме или задача равномерного наилучшего приближения не имеет аналитического решения, используются в настоящее время численные методы математического программирования. г) Численные методы решения задачи чебышевской аппроксимации. Эти методы позволяют осуществить наилучшее равномерное приближение заданных на любом конечном интервале зависимостей произвольного вида. Рассмотрим один из вариантов численных методов, сводящихся к задаче линейного программирования.

Пусть на интервале задана некоторая, показанная на рисунке 3 зависимость о(х) и её нужно наилучшим образом в смысле чебышевского критерия близости аппроксимировать функцией f (х) в качестве которой, ради простоты изложения существа метода, возьмём алгебраический полином 2-ой степени т.е. f(х) = а0х2+а1х+а2 Рисунок 3. Заменим указанный интервал некоторой совокупностью точек ха, х1 х и пусть их число будет равно &#61537;. Функцию о(х) также заменим совокупностью точек о (ха), о (х1) о (хb) и будем решать задачу чебышевской аппроксимации этой совокупности точек полиномом f(х) = а0х2+а1х+а2 . Можно доказать, что если число точек взято достаточно большое, то результаты решения непрерывной и дискретной задач чебышевского приближения совпадают, с точностью до бесконечно малой величины.

Экспериментально установлено, что при аппроксимации полиномами практически достаточным будет выбор числа точек, в 5-10 раз превышающего степень полинома.

Для выбранных точек можно записать следующую систему из неравенства: (2) В качестве целевой функции выберем параметр &#61540;, который будем минимизировать путём подбора коэффициентов а0, а1, а2, т.е В приведённой постановке решаемая задача полностью вписывается в основную задачу линейного программирования и может быть решена по стандартным программам.

Найденные в результате решения этой задачи коэффициенты а0, а1, а2 и будут определять полином наилучшего приближения. Аналогичным образом решается задача чебышевского приближения дробно-рациональными функциями.

Достоинства численных методов: - применимость метода для аппроксимации о (х) произвольного вида, заданной аналитически, либо графически, либо таблицей; - возможность простого введения в задачу аппроксимации УФР в виде ограничений, дополняющих систему (2).