Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и частотами. Рассмотрим пример звуковых волн, когда два источника создают волны с одинаковой амплитудами A и частотами На расстоянии от источников установим чувствительную мембрану.
Когда волна пройдёт расстояние от источника до мембраны, мембрана придёт в колебательное движение.
Воздействие каждой из волн на мембрану можно описать следующими соотношениями, воспользовавшись колебательными функциями x1 t A cos ?t ?1 , 1.26 x2 t A cos ?t ?2 . Для того, чтобы сосчитать колебание, с которым будет колебаться мембрана, просуммируем функции 1.26 x t x1 t x2 t A cos ?t ?1 cos ?t ?2 1.27 Выражение, которое находится в скобках, можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией суммы косинусов 1.28 Для того чтобы упростить функцию 1.28 , введём новые величины A0 и ?0, удовлетворяющие условию A0 ?0 1.29 Подставим в функцию 1.28 выражения 1.29 , получим 1.30 Таким образом, сумма гармонических колебаний с одинаковыми частотами ? есть гармоническое колебание той же частоты При этом амплитуда суммарного колебания A0 и начальная фаза ?0 определяются соотношениями 1.29 . 2.1.3.2. Сложение двух гармонических колебаний с одинаковой частотой, но разными амплитудой и начальной фазойТеперь рассмотрим такую же ситуацию, изменив в функции 1.26 амплитуды колебаний.
У функции x1 t заменим амплитуду A на A1, а у функции x2 t А на A2. Тогда функции 1.26 запишутся в следующем виде x1 t A1 cos ?t ?1 , x2 t A2 cos ?t ?2 1.31 Найдем сумму гармонических функций 1.31 x x1 t x2 t A1 cos ?t ?1 A2 cos ?t ?2 1.32 Выражение 1.32 можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией косинуса суммы x t A1cos ?1 A2cos ?2 cos ?t - A1sin ?1 A2sin ?2 sin ?t 1.33 Для того чтобы упростить функцию 1.33 введём новые величины A0 и ?0, удовлетворяющие условию 1.34 Возведём каждое уравнение системы 1.34 в квадрат и сложим полученные уравнения.
Тогда мы получим следующее соотношение для числа A0 1.35 Рассмотрим выражение 1.35 . Докажем, что величина под корнем не может быть отрицательной. Так как cos ?1 - ?2 ? -1, значит, это единственная величина, которая может повлиять на знак числа под корнем A12 0, A22 0 и 2A1A2 0 из определения амплитуды. Рассмотрим критический случай косинус равен минус единице. Под корнем оказывается формула квадрата разности, что является величиной всегда положительной.
Если мы начнём постепенно увеличивать косинус, то слагаемое, содержащее косинус тоже начнёт расти, тогда величина, стоящая под корнем не изменит свой знак. Теперь рассчитаем соотношение для величины ?0, разделив второе уравнение системы 1.34 на первое и вычислив арктангенс 1.36 А теперь подставим в функцию 1.33 значения из системы 1.34 x A0 cos ?0 cos?t - sin ?0 sin?t 1.37 Преобразуя выражение, стоящее в скобках по формуле косинуса суммы, мы получим x t A0 cos ?t ?0 1.38 И опять получилось, что сумма двух гармонических функций вида 1.31 является также гармонической функцией того же вида. Точнее говоря, сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами ? представляет собой также гармоническое колебание с той же частотой При этом амплитуда результирующего колебания определяется соотношением 1.35 , а начальная фаза - соотношением 1.36 . 2.2. Волны 2.2.1.