Поворотная псевдосимметрия дифракционных картин. Симметрией называется инвариантность физической или геометрической системы по отношению к различного рода преобразованиям.
Различные типы симметрии определяются преобразованиями, относительно которых инвариантна данная система.
Существует симметрия трансляционная, поворотная, симметрия подобия и т.д. Симметрия представляет собой одно из фундаментальных свойств Вселенной. Даже основные законы физики сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с определенными симметрическими преобразованиями пространственно-временного континуума.
Конкретное преобразование, относительно которого инвариантна данная система, называется операцией симметрии. Множество точек, остающихся неподвижными при симметрическом преобразовании, образуют элемент симметрии. Например, если операцией симметрии является поворот, то соответствующим элементом симметрии будет ось, вокруг которой совершается поворот. Симметрия конечных физических систем, элементы симметрии которых пересекаются хотя бы в одной точке, называется точечной. К точечной симметрии относятся инвариантность относительно поворота на определенный угол поворотная симметрия, инвариантность относительно отражения в определенной плоскости зеркальная симметрия, инвариантность относительно инверсии в заданной точке инверсионная симметрия. Симметрия подавляющего большинства физических объектов не является абсолютной. Это означает, что физическая или геометрическая система не полностью инвариантна относительно рассматриваемого преобразования.
Для количественного описания отклонений от точной симметрии используется функционал, называемый степенью инвариантности или коэффициентом псевдосимметрии.
Пусть какая-либо физическая характеристика исследуемого объекта описывается функцией точки. Этой функцией может быть массовая плотность, температура электрический потенциал, плотность электрического заряда и т.д. Нас симметрия данного объекта относительно преобразования, которое задано некоторой операцией. Тогда степень инвариантности определяется следующей формулой 4.1 , где V - объем объекта.
Под интегралом в числителе находится произведение функции на функцию того же объекта, подвергнутого преобразованию. Числитель называется сверткой функции относительно операции. В знаменателе стоит определенный интеграл по объему объекта от квадрата функции . 4.1 Знаменатель формулы 4.1 служит нормировкой, поэтому величина функционала может изменяться от 0 до 1. Если рассматриваемая физическая система полностью инвариантна относительно операции, то коэффициент псевдосимметрии равен единице.
Значение 0 соответствует случаю, когда симметрия системы относительно операции полностью отсутствует. Понятие степени инвариантности можно распространить и на описание симметрии углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей. В первую очередь, нас интересует инвариантность дифракционных картин относительно поворота на определенный азимутальный угол вокруг точки, соответствующей полярному углу 0. Иначе говоря, целью исследования является поворотная симметрия углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей, причем поворот осуществляется вокруг волнового вектора k0 первичного излучения.
Для изучения особенностей поворотной симметрии дифракционных картин можно адаптировать функционал общего вида 1 . Исследуемой функцией в данном случае является угловое распределение интенсивности рассеянных рентгеновских лучей I , Ф , а операцией симметрии - поворот дифракционной картины на азимутальный угол вокруг центральной точки картины с полярным углом 0. Таким образом, количественной характеристикой поворотной симметрии дифракционной картины является следующий функционал 4.2 Внутренние интегралы берутся по диапазону азимутального угла Ф 0, 2 а внешние интегралы по диапазону полярного угла 0 2 . Следует обратить внимание на некоторые важные особенности всех дифракционных картин.
На рис.4.1. видно, что в центре полярной диаграммы находится центральный максимум интенсивности рассеянного излучения.
Этот максимум имеет высокую симметрию, близкую к симметрии предельной группы С. В угловом распределении рассеянного излучения центральный максимум занимает некоторый интервал полярных углов 0, C . Полуширина центрального максимума существенно зависит от длины волны рентгеновских лучей и количества рассеивающих атомов. Также весьма важно, что интенсивность центрального максимума значительно превышает интенсивность всех остальных точек двумерного угловом распределении рассеянного рентгеновского излучения.
Напротив, с ростом полярного угла интенсивность рассеянного излучения в среднем резко падает. Это означает, что периферийная область дифракционной картины область полярных углов превышающих некоторое значение M практически не влияет на величину коэффициента поворотной псевдосимметрии 4.2 . Как следствие, в степень инвариантности 4.2 основной вклад дает центральный максимум. Иначе говоря, высокая симметрия центрального максимума подавляет симметрийные особенности всех остальных характерных особенностей дифракционной картины.
Для детального исследования поворотной псевдосимметрии угловом распределении рассеянного рентгеновского излучения целесообразно вычислять функционалы следующего вида 4.3 Внешние интегралы по полярному углу имеют пределы, которые может задавать исследователь, что позволяет изучать поворотную псевдосимметрию в различных интервалах полярного угла. Иначе говоря, величины типа 4.3 дают количественные оценки поворотной псевдосимметрии дифракционной картины внутри кольца, заданного парой полярных углов 1 и 2. см. рис.4.1 . Естественно разбить диапазон полярных углов 0 2 на поддиапазоны определенной ширины 2 1 и провести вычисления коэффициентов псевдосимметрии для всех таких поддиапазонов.
Рис.4.1. Кольцо на полярной диаграмме дифракционной картины, ограничивающее диапазон полярных углов 1, 2 . Выше было указано, что при компьютерном моделировании углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей функция I , Ф представляется двумерным множеством числовых значений I l, m для конечных дискретных наборов углов l l, l 1, n Фm m Ф, m 1, nФ. Следовательно, при вычислении коэффициентов псевдосимметрии по результатам расчета углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей двойные интегралы в выражении 4.2 превращаются в двойные суммы Если нас интересует усредненная поворотная псевдосимметрия всей дифракционной картины, то степень инвариантности следующей формулой 4.4 Если же мы хотим исследовать поворотную псевдосимметрию в различных поддиапазонах полярного угла см. рис.4.1 , то необходимо вычислять отношение сумм для соответствующих интервалов типа 4.3 . Тогда коэффициенты псевдосимметрии представятся в виде 4.5 где индексы l1 и l2 соответствуют значениям полярных углов 1 и 2 1 l1 , 2 l2 . 4.6 Задавая определенные значения угла поворота можно вычислять коэффициенты псевдосимметрии дифракционных картин для поворотов различных порядков.
Если нас интересует поворотная псевдосимметрия n-го порядка, то угол поворота выражается соотношением. n 2 n. 4.7 Величину 4.7 далее будем называть углом поворота n-го порядка. 3.1.2.