Определение комплексного числа. При рассмотрении действительных чисел оказалось, что нельзя найти такое число, квадрат которого равен -1 . Для того чтобы задачи с использованием этого числа были разрешимы, вводится понятие комплексного числа.
Комплексное число представляет собой выражение вида a bi, где a и b - действительные числа, а число i представляет собой. С комплексными числами, как и с действительными, можно проводить математические операции Выражения a bi и c di называют равными, только в том случае, когда одновременно выполняются два равенства a c и b d. Суммой двух комплексных чисел a bi и c di называют комплексное число вида a c b d i. Произведением двух комплексных чисел a bi и c di называют комплексное число вида ac - bd ad bc i. Часто комплексное число обозначают одной буквой, например. Если комплексное число z умножить само на себя n раз n?2 , то это произведение называют степенью комплексного числа, кроме того, z1 z. Раз комплексные числа можно складывать и умножать между собой, значит, среди комплексных чисел действуют и основные законы сложения и умножения коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность умножения относительно сложения.
Для умножения и сложения комплексных чисел существуют и обратные операции Разностью комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое в сумме с z2 даёт z1. Частным комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое при умножении с z2 даёт z1. Рассмотрим случай, когда одно из действительных чисел, которые составляют комплексное число a bi равно нулю. b 0. Тогда комплексное число a bi принимает вид a 0i, что равно a. a 0. Тогда комплексное число принимает вид 0 bi, что равно bi. Такие числа называют чисто мнимыми числами.
Рассмотрим частный случай, когда b 1. Тогда комплексное число a bi примет вид 0 1i, что равно i. Комплексное число вида 0 1i называют мнимой единицей. b 0, a 0. Тогда комплексное число примет вид a 0i, что равно 0. 6.1.2.