Основные определения. В этой главе использованы следующие обозначения • - частная производная функции по ; • - производная функция одной переменной.
Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу.
Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в кото-рых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию, ко-торая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференци-альных уравнений задач математической физики сопровождается целым ря-дом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных. В результате получается следующее уравнение колебаний прямоуголь- ной мембраны. В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к поляр-ным координатам.
Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом. Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t: . Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид , Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде. В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функ-ций в следующем виде: Система функций называется ортогональной на ин-тервале, если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом со-держится множитель, в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1]. 2.2