Собственные колебания пластин

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Выпускная квалификационная работа Собственные колебания пластин Выполнила: студентка V курса математического факультета Чураева Анна Сергеевна Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии « » 2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина « » 2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина Киров 2005 Содержание Введение 3 Глава I Основные положения математической физики и теории дифференци-альных уравнений 1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия 1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье 1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 8 Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 2.1 Основные определения 2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны 12 2.3 Собственные колебания круглой мембраны 19 Заключение 28 Библиографический список 29 Приложение 30 Введение Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математи-ки. Объектом изучения математической физики могут служить только те яв-ления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д. Цели работы: 1. Изучить математическую литературу по данной теме. 2. Освоить основные методы решения задач математической фи-зики и применить их к решению задач. Задачи работы: 1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при допол-нительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны. 2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с анало-гичными задачами, решенными для других дополнительных ус-ловий.

Методы работы: • Изучение специальной литературы; • Решение задач.

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением раз-личных физических процессов.

Сюда относятся явления, изучаемые в гидро-динамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным.

Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4]. 1.1

Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

Поперечные колебания. При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, ... В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частно... Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l и... Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на, ...

Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифф... Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если про-из... будет решением дифференциального урав-нения (1.3.1). Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 кор... Второе частное решение будет.

Основные определения

Уравнение границы круга будет при этом. Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегр... Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат ... 2.2 . В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функ-ций ...

Собственные колебания прямоугольной мембраны

А коэффициенты и равны: , . Найдем решение задачи при других граничных условиях. для любых значений переменных , , . Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнен... Учитывая граничные условия, получаем: т.к.

Собственные колебания круглой мембраны

Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид. 2) уравнение для определения функции Из граничных условий для функции ... уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений, к... Составим их линейную комбинацию. Посчитаем сначала для собственных функций.

Заключение

Заключение В данной квалификационной работе были рассмотрены основные поня-тия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений – метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прямо-угольной и круглой мембраны.

По результатам решения задач можно сделать следующий вывод: • функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий и от геометрической формы мембраны; • при изменении формы мембраны задача на нахождение функции, ха-рактеризующей ее прогиб, значительно усложнилась.

Возникла необходи-мость в изучении цилиндрических функций и их свойств.

В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода.

Например, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода, т. к. его рассмотрение требует более глубокого знания законов физики.

Решение цилиндрического уравнения было взято в готовой форме, т. к. не являлось целью изучения этой работы. Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигну-ты.

Библиографический список

114 – 144. И. вузов [Текст] / Г. М. Розет, Т.

приложениями к радиотехнике [Текст] / Т. А. Розет. – М.: «Советское радио», 1956. – С. 141 – 160. 8. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1972. – С. 23- 44, 82-88, 426 – 427. 9. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа, Ч. I [Текст] / Г. М. Фихтенгольц СПб.: «Лань», 2002. – С. 448. 10. Янке, Е. Специальные функции.

Формулы, графики таблицы [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. – М.: Наука, 1977. – С. 176 – 241. Приложение Цилиндрические функции.

Уравнение Бесселя При решении многих задач математической физики приходят к обыкно-венному дифференциальному уравнению называемому уравнением цилиндрических функций n-го порядка.

Это уравне-ние часто называют также уравнением Бесселя n-го порядка.

Уравнение Бесселя -го порядка или где - произвольное действительное или комплексное число, действи- тельную часть которого можно считать неотрицательной. Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде, где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода - го порядка или функция Неймана, - произвольные постоян-ные. Функция любого положительного и целого отрицательного поряд-ков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при. Для действительного порядка функции Бесселя и Неймана от действи-тельного аргумента будут действительными функциями , ; , при (рис. 1 и рис. 2).Функции и наибо-лее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [5, 7, 10].