Собственные колебания прямоугольной мембраны. Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям.
Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.
Для нахождения функции, характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях и граничных условиях. Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.
Функция имеет вид, где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой. А коэффициенты и равны: , . Найдем решение задачи при других граничных условиях. Итак, для нахождения функции, характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях и граничных условиях. Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем. Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x, y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно . , где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции : , а для функции следующую краевую задачу: Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях.
Снова применим метод разделения переменных.
Пусть и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на, приведем его к виду. Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно. Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка: 1. 2. где и - постоянные разделения переменных, причем. При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции . , , , . Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения: (2.2.11) (2.2.12) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра. Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен. 1) При задача не имеет нетривиальных решений.
Общее решение уравнения имеет вид, т. к. характеристическое уравнение имеет корни. Учитывая граничные условия, получаем: т.к. - действительно и положительно, то . 2) При нетривиальных решений тоже не существует. 3) При общее решение уравнения имеет вид. Учитывая граничные условия, получаем: , т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно Итак, только при значениях равных, существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид. Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.
Аналогично получаем решение задачи (2.2.12): Собственным значениям, таким образом, соответствуют собственные функции, где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице. Вычислим отдельно интегралы в равенстве: Тогда, . Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения. Собственным значениям соответствуют решения уравнения : , где и - произвольные константы.
Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид. Тогда общее решение запишется в виде, где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны: , . В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных услови-ях. В результате были получены две разные функции.
Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий. 2.3