Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.
Скорость, обозначаемая ранее буквой с и называемая скоростью распространения волны есть ни что иное, как фазовая скорость т.е. скорость перемещения гребней волн. От неё следует отличать скорость распространения группы волн, называемую групповой скоростью далее она будет иметь обозначение с. Понять различие между ними проще всего на примере картины, возникающей в результате наложения двух волн, имеющих разные амплитуды, но немного отличающиеся своей длиной.
Пусть имеется синусоидальная волна y A sin мx - нt, где А есть амплитуда, t - время, а м и н - некоторые коэффициенты. При изменении x на или t на синус принимает прежнее значение т. к. sin ц 2р sin ц по формулам приведения. Следовательно, величина - это длина волны, 4.4 а величина - период колебаний. Если 4.5 мx - нt const, т. е. если x const, то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината y. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью . 4.6 Пусть на эту волну накладывается вторая волна y? A sin м?x - н?t, т. е. волна с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями м и н. Результирующим движением будет y y? A sin мx - нt sin м?x - н?t . 4.7 В тех точках оси x, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2A, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением.
После применения к 4.7 правила сложения синусов, получается выражение y y? 2A cos sin. В этом равенстве член sin представляет собой волну, для которой коэффициенты при x и t равны средним значениям от м и м? и соответственно от н и н Множитель 2A cos, в свою очередь, можно рассматривать как переменную амплитуду при малых различиях параметров этот множитель изменяется очень медленно. Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки она и называется групповой скоростью на основании выведенного соотношения 4.6 равна . 4.8 Для длинных групп, т. е. для медленных биений см. пункт 4.1 - зависимость длины волны от скорости, с достаточной точностью можно принять, что. Соотношения между групповой скоростью и скоростью распространения волны определяются следующим образом 1 для гравитационных волн Из формулы 4.1 , но, согласно равенству 4.5 следовательно. С другой стороны, после подстановки в формулу 4.2 значения л из 4.4, получается, поэтому. Дифференцирование по м с учётом равенства 4.8 даёт результат . 2 для капиллярных волн Из формулы 4.5 , но, согласно равенству 4.4 Дифференцирование этого выражения по м с учётом 4.8 и выражения скорости для предельного случая очень короткой капиллярной волны см. формулу 4.3 и пункт 4.1 даёт результат. Таким образом, группы гравитационных волн распространяются со скоростью с, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн на заднем конце группы всё время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду. Групповая скорость капиллярных волн больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают. 4.3