Теоретическое описание акустических волн на поверхности твердого тела

Теоретическое описание акустических волн на поверхности твердого тела. Волны Рэлея. Как уже отмечалось ранее на поверхности твердого тела могут существовать волны различных типов.

Волна Рэлея на свободной поверхности состоит из продольной волны сжатия-растяжения и поперечной волны сдвига. Вторым важным типом поверхностных акустических волн является волна Гуляева- Блюштейна (ВГБ), которая так же может существовать на свободной поверхности твердого тела, но в отличие от рэлеевской волны существование ВГБ возможно только на определенных срезах и в определенных направлениях пьезоэлектрических кристаллов.

В системе полупространство-слой чисто механическое возмущение границы приводит к образованию сдвиговой волны Лява. Волны Лява находят некоторое применение на практике в лабораторных исследованиях. В теории эти волны часто используют в качестве простейшей модели поверхностных волн, так как расчеты для волн Лява существенно проще, чем для волн Рэлея. Так же следует отметить случай, когда на поверхности имеются неровности. Приповерхностная жесткость в такой системе меньше за счет наличия канавок, что приводит к образованию сдвиговых поверхностных волн (СПВ). Скорость волны в приповерхностной области уменьшается, так как волна как бы обегает выступы, проходя при этом больший путь. В данной работе проводится исследование распространения рэлеевской волны по поверхности твердого тела, которая имеет как случайные неоднородности (шероховатая поверхность) так и искусственные дефекты представляющие из себя наноразмерную периодическую структуру.

При описании волн Рэлея [7], распространяющихся вдоль границы изотропного упругого полупространства (рис.3), смещение [pic] удобно выражать через скалярный j и векторный [pic]потенциалы: [pic] (1) причем такое представление возможно при любой пространственной структуре волновых полей и соответствует разделению волны на волну сжатия (j) и волну сдвига ([pic]). Уравнения для j и [pic] независимы и записываются в виде: [pic], [pic], (2) где D-оператор Лапласа, [pic]и [pic] -скорости продольной и поперечной акустических волн соответственно.

При распространении волны вдоль оси x (рис.1) и векторе смещения, лежащем в плоскости xz, векторный потенциал имеет одну компоненту [pic] , отличную от нуля. При этом смещения [pic] и [pic] даются формулами: [pic], [pic]. (3) Используя эти выражения и закон Гука для изотропного тела, можно записать отличные от нуля компоненты тензора напряжений: [pic], [pic], [pic], (4) [pic], где [pic]и [pic] -постоянные Ламе, причем [pic], [pic] ( [pic]-плотность упругого тела). Решения уравнений (2), описывающие поверхностную акустическую волну, имеют вид: [pic], (5) [pic], где [pic]и [pic]- частота и волновое число волны, [pic] и [pic] - амплитуды двух компонент волны, [pic]и [pic] -коэффициенты, описывающие спадание волн сжатия и сдвига в глубь поверхности.

Из уравнений движения (2) следует, что [pic], [pic], [pic]> [pic], где [pic], [pic]- волновые числа продольной и сдвиговой объемных волн. На свободной границе полупространства z=0 должны выполняться условия отсутствия напряжений [pic]. Из выражений (4) при этом следует: [pic], (6) [pic]. Выражение в квадратных скобках преобразуется к виду [pic], после чего система (6) записывается в виде: [pic], (7) [pic]. Из условия существования ненулевых решений этой линейной системы уравнений получается уравнение Рэлея [pic]. (8) Вводя скорость волны Рэлея [pic] [pic] , легко видеть, что [pic] не зависит от частоты, т.е. волны Рэлея в классическом упругом теле бездисперсны и отношение [pic] определяется отношением [pic], т.е. зависит только от коэффициента Пуассона [pic]. Амплитуды потенциалов [pic]и [pic]линейно связаны уравнениями (7), поэтому решения (5) можно представить в виде: [pic], (9) [pic]. Значения смещений [pic]и [pic]вычисляются по формулам (3); в частности, для амплитуды смещения [pic] на поверхности [pic]имеем: [pic] , (10) соответственно [pic]дается формулой: [pic]. (11) Из этих формул видно, что смещение частиц среды в волне Рэлея происходит по эллипсам, причем на «гребнях» волны частицы движутся в направлении, противоположном направлению распространения волны.

Поток энергии в волне Рэлея в расчете на единицу ширины акустического пучка с использованием формул (9) можно представить формулой: [pic], (12) где поток энергии [pic] представлен в Вт/см, частота [pic]в ГГц, плотность [pic] в г/см[pic], амплитуда [pic]в [pic], [pic]- функция коэффициента Пуассона, скорость [pic] в см/с. Приведенные соотношения позволяют рассчитать все основные характеристики волны Рэлея в изотропном твердом теле.