МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФРОНТА. Теперь важно определить где находится фронт УВ. Перерисуем третью кривую рис. 3 откладывая по оси ординат координату, а массовую скорость по оси абсцисс.
На Рис. 5. рис. 5 пунктирный отрезок показывает местоположение разрывного фронта. Обозначим координату фронта х0. Вычислим разность площадей маленького треугольника между пунктирным отрезком, осью х и кривой и криволинейной фигуры выше пунктирного отрезка между ним и кривой. Эта разность Посмотрим, меняется ли эта величина при распространении волны.
Для этого продифференцируем S по времени. Первый член подынтегрального выражения это скорость распространения точки профиля гладкой волны. Второй член скорость фронта УВ. Тогда Нужно заметить, что второй интеграл бертся от приближнного выражения. Окончательно Итак, St 0 при любых t и x. Значит площадь не зависит от времени. S const.
Но в момент образования фронта разность площадей S была равна нулю. Значит она и всегда равна нулю, конечно, в рамках применимости формулы 25. Вывод фронт располагается таким образом, что площадь между римановской кривой и фронтом справа равна площади слева рис. 6. Рис. 6. Рис. 7. Теперь рассмотрим наглядные графические иллюстрации распространения однополярной волны с профилем в виде полупериода синусоиды рис. 7. Точки с нулевой амплитудой бегут со скоростью С0, верхняя точка профиля бежит с бульшей скоростью U C0 max. Результатом этого становится искажение профиля волны.
Те точки, что лежат выше других, обгоняют нижние. На некотором расстоянии передний фронт импульса становится вертикальным рис. 8. U D, поэтому форма волны вс сильнее искажается. Заметим, что добавка к линейно-акустической скорости U С0 max Рис. 8. D C0 p звука для ударной волны вдвое меньше, чем для волны с гладким профилем.
Поэтому точка на профиле волны, лежащая чуть выше точки А, рис. 8, будет бежать с заметно большей скоростью. И, наконец, когда волна приобретт характерны для УВ треугольный профиль, можно будет сказать, что точки чуть левее фронта рис. 9 в системе отсчта, бегущей вправо со скоростью С0 с этой скоростью бежит, например, точка А бегут вдвое быстрее фронта. Фронт как бы съедает профиль левее него. Конечно, и все остальные Рис. 9. точки профиля выше пунктирной линии, соответствующей массовой скорости max, тоже догоняют фронт.
Фронт бежит медленнее потому, что перед ним невозмущнная среда. А точка левее фронта бежит по уже сжатой и движущейся среде. Поэтому, амплитуда такой волны должна непременно уменьшаться. 6. РАССТОЯНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАЗРЫВА. Нарисуем в координатах х период синусоидальной волны. Разные точки профиля волны будут распространяться с различными скоростями согласно формуле 23. Точки Рис. 10. профиля с 0 будут бежать со скоростью U C0 . Отметим на оси точку с такой отрицательной массовой скоростью, при которой эта точка покоится, то есть U 0. Эта критическая скорость из 23 будет крит 2 C0 1. Так как зависимость U линейна, то и расстояния, пройденные каждой точкой профиля за время t, будут линейно зависеть от времени.
Поэтому, все точки профиля, находящиеся на линии АСЕ рис. 10, через некоторое время будут на вертикальной линии ABG. Эта точка В и есть координата образования разрыва, а расстояние СВ называется расстоянием образования разрыва хр. На бульших расстояниях уже возникает неоднозначность и линию разрыва нужно проводить по правилу равенства площадей, как это описано в предыдущем параграфе.
Линии AE и AG касательные к переднему фронту волны. Аналогично можно провести касательные ко всем другим участкам профиля, зафиксировать точки с крит и построить формы профиля волны в процессе распространения, то есть эволюцию профиля волны. Найдм расстояние образования разрыва хр. Массовая скорость в синусоидальной волне будет 0 sin t xC0. Тогда где М0 0C0 максимальное число Маха. Отсюда 27 В приведнном выводе содержится элемент жульничества.
Действительно, обратите внимание, что в выражении для тангенсов числители и знаменатели имеют разные размерности. Правда, оба тангенса вычисляются из одного и того же графика. Поэтому, масштабы в итоге сокращаются. Для строгости можно было бы обезразмерить график, построив его в координатах W X, где W . Вот и вс Пример для воды при р 1 атм, р0 С0 0.067 мс. 7, 4 при 1.5 м, хр 1300 м При 1.5 мм, хр 1.3 м. Вс это, конечно, только для плоских волн. 7.