СПЕКТР ИСКАЖННОЙ СИНУСОИДЫ. ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ-ФУБИНИ. Вспомним 28 32 Это уравнение описывает эволюцию формы первоначально синусоидальной волны вплоть до образования разрыва.
Чтобы узнать, как меняется спектр волны при распространении, разложим 32 в ряд Фурье. В силу нечтности функции An A0 0. Трудность вычисления состоит в том, что под интегралом 0 тоже зависит от. Для упрощения введм новую переменную 0 . Тогда 0 sin. Отсюда Так как sin nx dx 1n d cos nx, то Используем правило V dU VU U dV. Здесь необходимо заметить, что при замене переменных мы не сменили пределы интегрирования.
Однако, при 0 и 0, так как если массовая скорость в начальный момент равна нулю, то она и дальше будет равна нулю при 0. Те же рассуждения и для. Первый член при подстановке 0 и обращается в нуль. Во втором члене используем формулу 2 cos A cos B cos A B cos AB. Тогда В Математической энциклопедии, М. 1977, т. 1, с. 463, находим формулы 33 34 Здесь Jm знакомые нам функции книгсбергского астронома Фридриха Вильгельма Бесселя.
Окончательно 35 36 Этот ряд называется разложением Бесселя Фубини. В справочниках есть таблицы функций J0 и J1. Воспользовавшись формулой 35 можно найти J2y 2 J1yy J0y и все остальные функции. На рис. 14 построены графики зависимостей Вn для первых трх гармоник.
По формуле 35 эти графики можно строить только для значений от 0 до 1. Дальше образуется разрыв и нужно вычислять спектр численными методами. Рис. 14. При 0 волна синусоидальная, амплитуды всех гармоник, кроме первой, равны нулю. При распространении волна искажается, амплитуда первой гармоники уменьшается, растут амплитуды высших гармоник. Интересно сравнить амплитуды гармоник на расстоянии образования разрыва 1, на расстоянии 3 и на на расстоянии 1, где волна уже стала пилообразной см. таблицу.
Амплитуда первой гармоники везде принята за 1. Номер гармоники123Амплитуда при 110.40.23 310.490.32 пила10.50.33