Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости
Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцилляторы, причем все они колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно большом расстоянии от плоскости? (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью XY и нас интересует поле в точке Р, лежащей на оси z, достаточно далеко от плоскости (фиг. 30.10). Предположим, что число зарядов на единичной площадке равно n, а величина каждого заряда д. Все заряды совершают одинаковые гармонические колебания в одном и том же направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего положения описывается функцией x0coswt. Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебание заряда функцией x0eiwt.
Чтобы найти поле, создаваемое всеми зарядами в точке Р, нужно вычислить сначала поле отдельного заряда q, а затем сложить поля всех зарядов. Как известно, поле излучения пропорционально ускорению заряда, т. е.. — w2x0еiwt (и одинаково для всех зарядов). Электрическое поле в точке Р, создаваемое зарядом в точке Q, пропорционально ускорению заряда q, нужно только помнить, что поле в точке Р в момент времени t определяется ускорением заряда в более ранний момент времени t' =t-r/c, где r/c — время, за которое волна проходит расстояние от Q до Р. Поэтому поле в точке Р пропорционально
(30.10)
Фиг. 30.10. Поле излучения осциллирующих зарядов, заполняющих плоскость.
Подставляя это значение ускорения в формулу для поля, создаваемого зарядом на большом расстоянии, получаем
Однако эта формула не совсем правильна, поскольку нужно брать не все ускорение целиком, а его компоненту, перпендикулярную линии QP. Мы предположим, однако, что точка Р находится от плоскости намного дальше, чем точка Q от оси z (расстояние r на фиг. 30.10), так что для эффектов, которые мы хотим учесть, косинус можно заменить единицей (косинус и так довольно близок к единице).
Полное поле в точке Р получается суммированием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторную сумму полей. Но поскольку направление поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно сложить величины всех полей. Кроме того, в нашем приближении поле в точке Р зависит только от r, следовательно, все заряды с одинаковым r создают равные поля. Поэтому, прежде всего, сложим поля всех зарядов в кольце шириной dr и радиусом r. Интегрируя затем по всем r, получаем полное поле всех зарядов.
Число зарядов в кольце равно произведению площади кольца, 2nrdr, на h — плотность зарядов на единицу площади. Отсюда
Интеграл берется в пределах r=0 и r=¥. Время t, конечно, зафиксировано, так что единственными меняющимися величинами являются r и r. Отвлечемся пока от постоянных множителей, включая и eiwt, и вычислим интеграл
(30.13)
Для этого учтем соотношение между r и r:
(30.14)
При дифференцировании формулы (30.14) z нужно считать независимым от r, тогда