Эффект Допплера

Рассмотрим теперь ряд других эффектов, связанных с движением источника. Пусть источник представляет собой покоящийся атом, колеблющийся со своей обычной частотой ш₀. Частота наблюдаемого света тогда будет равна w₀. Но возьмем другой пример: пусть такой же атом колеблется с частотой w₁ и в то же время весь атом, весь осциллятор как целое движется со скоростью v по направлению к наблюдателю. Тогда истинное движение в пространстве будет таким, как изоб­ражено на фиг. 34.10,а. Используем наш обычный прием и до­бавим ст, т. е. сместим всю кривую назад и получим колебания, представленные на фиг. 34.10,6. За промежуток времени т осциллятор проходит расстояние vт, а на графике с осями х' и у' соответствующее расстояние равно (с-v)t. Таким образом, число колебаний с частотой ш1, которое укладывалось в интер­вал Ат, на новом чертеже укладывается теперь уже в интервал Dt = (1-v/c) Dt; осцилляции сжимаются, и, когда новая кривая будет двигаться мимо нас со скоростью с, мы увидим свет более высокой частоты, увеличенной за счет
фактора сокращения (1-v/c). Итак, наблюдаемая частота равна

(34.10)

Можно, конечно, объяснить этот эффект и другими спосо­бами. Пусть, например, тот же атом испускает не синусоидаль­ную волну, а короткие импульсы (пип, пип, пип, пип) с неко­торой частотой ш1. С какой частотой мы будем их воспринимать? Первый импульс к нам придет спустя определенное время, а второй импульс придет уже через более короткое время, потому что атом за это время успел к нам приблизиться. Следова­тельно, промежуток времени между сигналами «пип» сокра­тился за счет движения атома. Анализируя эту картину с геометрической точки зрения, мы придем к выводу, что час­тота импульсов увеличивается в 1/(1-v/c) раз.

 

Фиг, 34.10. Движение осциллято­ра в плоскости х—z и в плоскости x'—t.

Будет ли наблюдаться частота w= w₀/(1-v/c), если атом с собственной частотой ш₀ движется со скоростью v к наблюда­телю? Нет. Нам хорошо известно, что собственная частота дви­жущегося атома w₁ и частота покоящегося атома w₀ — не одно и то же из-за релятивистского замедления хода времени. Так что если w₀ — собственная частота покоящегося атома, то час­тота движущегося атома будет равна

(34.11)

Поэтому наблюдаемая частота w окончательно равна

(34.12)

Изменение частоты, возникающее в таком случае, назы­вается эффектом Допплера: если излучающий объект движет­ся на нас, излучаемый им свет кажется более синим, а если он движется от нас, свет становится более красным.

Приведем еще два других вывода этого интересного и важ­ного результата. Пусть теперь покоящийся источник излучает с частотой w₀, а наблюдатель движется со скоростью v к источ­нику. За время t наблюдатель сдвинется на новое расстояние vt от того места, где он был при t = 0. Сколько радиан фазы пройдет перед наблюдателем? Прежде всего, как и мимо любой фиксированной точки, пройдет ю₀t, а также некоторая добавка за счет движения источника, а именно vtk₀ (это есть число ради­ан на метр, умноженное на расстояние).

Отсюда число радиан за единицу времени, или наблюдаемая частота, равно w₁=w₀+k₀v. Весь этот вывод был произведен с точки зрения покоящегося наблюдателя; посмотрим, что уви­дит движущийся наблюдатель. Здесь мы снова должны учесть разницу в течении времени для наблюдателя в покое и движе­нии, а это значит, что мы должны разделить результат на Ö( 1-v2/с²). Итак, пусть k₀ есть волновое число (количество ради­ан на метр в направлении движения), а со₀ — частота; тогда частота, регистрируемая движущимся наблюдателем, равна

(34.13)

Для света мы знаем, что k₀ = w₀/c. Следовательно, в рас­сматриваемом примере искомое соотношение имеет вид

 

(34.14)

и, казалось бы, не похоже на (34.12)!

Отличается ли частота, наблюдаемая при нашем движении к источнику, от частоты, наблюдаемой при движении источника к нам? Конечно, нет! Теория относительности утверждает, что обе частоты должны быть в точности равны. Если бы мы были достаточно математически подготовлены, то могли бы убедиться, что оба математических выражения в точности равны! В действительности требование равенства обоих выражений часто используется для вывода релятивистского замедления времени, потому что без квадратных корней равенство сразу нарушается.

Раз уж мы начали говорить о теории относительности, при­ведем еще и третий способ доказательства, который покажется, пожалуй, более общим. (Суть дела остается прежней, ибо не играет роли, каким способом получен результат!) В теории от­носительности имеется связь между положением в пространстве и временем, определяемым одним наблюдателем, и положением и временем, определяемым другим наблюдателем, движущимся относительно первого. Мы уже выписывали эти соотношения (гл. 16). Они представляют собой преобразования Лоренца, прямые и обратные:

 

(34.15)

Для неподвижного наблюдателя волна имеет вид cos(cot-kx); все гребни, впадины и нули описываются этой формой. А как будет выглядеть та же самая физическая волна для движущегося наблюдателя? Там, где поле равно нулю, любой наблюдатель при измерении получит нуль; это есть релятивистский инвариант. Следовательно, форма волны не меняется, нужно только напи­сать ее в системе отсчета движущегося наблюдателя:

 

 

Произведя перегруппировку членов, получим

 

(34.16)

Мы снова получим волну в виде косинуса с частотой w' в ка­честве коэффициента при t' и некоторой другой константой k' — коэффициентом при х'. Назовем k' (или число колебаний на 1 м) волновым числом для второго наблюдателя. Таким об­разом, движущийся наблюдатель отметит другую частоту и другое волновое число, определяемые формулами

 

(34.17)

 

 

 

(34.18)

Легко видеть, что (34.17) совпадает с формулой (34.13), полу­ченной нами на основании чисто физических рассуждений.