Средняя длина свободного пробега

Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно оп­ределить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно t, а средняя скорость молекул равна v, то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим бук­вой l, равно произведению t и v;. Это расстояние между столк­новениями обычно называют длиной свободного пробега:

Длина свободного пробега l=tv. (43.9)

В этой главе мы не будем уточнять, какого рода среднее мы имеем в виду в каждом случае. Существующие разные средние — среднее, корень из среднего квадрата и т. д.— приблизительно равны и отличаются только множителями, близкими к единице. Поскольку для получения правильных множителей необходим подробный анализ, нам нет смысла очень уж стараться уточнять, какое именно среднее исполь­зуется в том или ином случае. Мы хотим еще предупредить читателей, что используемые для обозначения физических величин алгебраические символы (например, l для длины сво­бодного пробега) не являются общепринятыми просто потому, что об этом никто еще специально не договаривался.

Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние dx, равна dx/l, как вероятность столкно­вения за короткий промежуток времени dt равна dt/t. Призвав на помощь те же аргументы, что и раньше, читатель сможет показать, что вероятность того, что молекула пройдет по крайней мере расстояние х, прежде чем испытает следующее столк­новение, равна е^-х/l.

Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега l), зависит от коли­чества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т. е. от того, насколько уязвимую мишень пред­ставляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столк­новений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в задачах о рассеянии света.

Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит рас­стояние dx внутри газа, содержащего n₀ рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1).

Фиг. 43,1. Эффективное сечение столкновения.

 

 

На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения вы­бранной нами частицы, имеется n₀dx молекул. Если каждая может быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкно­вения» s_с, то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна s_cn₀dx.

Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой. Если моле­кулы выглядят как маленькие шарики (классическая кар­тина), то следует ожидать, что s_с=p(r₁+r₂)², где r₁ и r₂— радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молеку­лами, к полной площади, принятой нами за единицу. Та­ким образом, вероятность столкновения на пути dx равна s_сn₀dx:

Вероятность столкновения на пути dx =sn₀ dx. (43.10)

Мы уже отметили раньше, что вероятность столкновения на пути dx может быть записана в терминах длины свобод­ного пробега l как dx/l. Сравнивая это с (43.10), можно связать длину свободного пробега с эффективным сечением столкновения:

1/l= s_cn₀. (43.11)

Это равенство легче запомнить, если записать его так:

s_сn₀l = 1. (43.12)

Эта формула говорит, что если частица проходит путь I внутрь рассеивателя, в котором молекулы могут как раз покрыть всю площадь, то в среднем происходит одно столк­новение. В цилиндре высотой l, поставленном на основание единичной площади, содержится n₀l рассеивателей; если каж­дый из них занимает площадь s_с, то полная площадь, покрытая ими, равна n₀ls_c, а это как раз единичая площадь. Конечно, молекулы не покрывают всей площади целиком, потому что часть молекул прячется за соседние молекулы. Поэтому не­которые молекулы пройдут между столкновениями большее, чем l, расстояние. Ведь это только в среднем молекулам между столкновениями дается ровно столько времени, чтобы они смогли пройти расстояние l. Измеряя длину свободного про­бега l, можно определить эффективное сечение рассеяния s_c и сравнить этот результат с расчетами, основанными на де­тальной теории строения атомов. Но это уже совсем другая тема! А пока вернемся к проблеме неравновесных состояний.