Молекулярная диффузия

Перейдем к другой задаче, для которой нам придется не­сколько изменить метод анализа, — к задаче о диффузии. Пред­положим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а потом в любое место внутри ящика вспрыснули небольшое количество другого газа. Назовем первоначальный газ газом «фона», а новый газ — «особым» газом. Особый газ начинает распространяться по всему ящику, но распространение это замедляется наличием молекул фона. Явление такого замедленного распространения называется диффузией. Диффузия в основном определяется столкновениями молекул особого газа с молекулами фона. После многих столк­новений особые молекулы более или менее равномерно распре­делятся по всему ящику. Важно не спутать диффузию газа с переносом больших количеств вещества в результате кон­векционных токов. Обычно смешение двух газов происходит именно в результате комбинации конвекции и диффузии. Сейчас нас интересует только такое перемешивание, которое не сопро­вождается «порывами ветра». Газ распространяется только благодаря молекулярному движению, т. е. происходит диф­фузия. Давайте выясним, быстро ли происходит диффузия.

Итак, мы приступаем к вычислению общего потока молекул особого газа, порождаемого молекулярным движением. Общий поток не равен нулю только тогда, когда распределение молекул отличается от равновесного, иначе усреднение молекулярного движения сводит общий поток к нулю. Рассмотрим сначала поток в направлении оси х. Чтобы определить, чему этот поток равен, мы должны вообразить площадку, перпендикулярную к оси, и подсчитать число молекул, пересекающих эту площадку. Чтобы определить общий поток, мы должны считать положи­тельными те молекулы, которые движутся в направлении положительных x, и вычесть из этого числа те молекулы, которые движутся в противоположном направлении. Как мы неоднократно убеждались, число молекул, пересекающих пло­щадку в течение времени DT, равно числу молекул, находя­щихся к началу интервала DT внутри объема, заключенного между нашей площадкой и площадкой, расположенной от нее на расстоянии vDT. (Заметим, что здесь v — настоящая скорость молекулы, а отнюдь не скорость дрейфа.)

Мы упростим наши выкладки, если возьмем площадку еди­ничной площади. Тогда число особых молекул, пересекающих площадку слева направо (справа от площадки лежат положи­тельные x-направления), равно n_vDT, где n_ — число особых молекул в единичном объеме слева от площадки (с точностью до множителя ~¹/₆, но мы такими множителями пренебрежем!). Аналогично, число особых молекул, движущихся справа налево, равно n₊vDT, где n₊ — плотность особых молекул справа от площадки. Если мы обозначим молекулярный поток буквой J, под которой мы будем понимать общий поток молекул через единичную площадку за единицу времени, то получим

 

 

или

J=(n_--n₊)v. (43.22)

А что понимать под n_- и n₊? Когда мы говорим «плотность слева от площадки», то как далеко налево? Мы должны изме­рить плотность в том месте, откуда молекула отправляется в свой «свободный полет», потому что число стартующих молекул определяется числом молекул, находящихся в этом месте. Таким образом, n_- — это плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега l слева от нашей воображаемой площадки, а n₊ — плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега справа от нее.

Распределение особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции х, у и z, которую мы обозна­чим n_a. Под n_a(х, у, z) нужно понимать плотность особых молекул в маленьком объеме вокруг точки (х, у, z). Тогда

 

 

разность (n₊-n_-) можно представить в виде

(n₊-n_-)=(dn_a/dx)Dx=(dn_a/dx) •2l (43.23)