Сжимаемость излучения

Приведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химиков, но очень важен для астро­номов. Внутри нагретого до высокой температуры ящика име­ется огромное число фотонов. (В качестве такого ящика надо взять очень горячую звезду. Солнце недостаточно горячо для этих целей. В звезде, правда, слишком много атомов, но если ее температура очень высока, то атомами можно пренебречь и считать, что внутренность звезды целиком заполнена фотонами.) Вспомним теперь, что фотон обладает импульсом р. (При изучении кинетической теории газов мы всегда будем ис­пытывать страшные неудобства: р — это давление, но р — еще и импульс; v — это объем, но это и скорость одновре­менно, а. Т — это и температура, и кинетическая энергия, и время, и момент силы; тут нужен глаз да глаз.) Сейчас буква р — это импульс, вектор. Поступим так же, как и в пре­дыдущем параграфе, за удары фотонов о стенку ответственна x-составляющая импульса, а удвоенная x-составляющая импульса — это импульс, полученный стенкой после каждого удара. Итак, вместо 2mv_x пишем 2р_х, а при вычислении числа столкновений нужно по-прежнему подставлять v_x; проделав все это, формулу (39.4) для давления мы уже записываем в виде

P=2np_xv_x. (39.15)

После усреднения мы получим произведение n на среднее зна­чение p_xv_x (вспомните, что мы говорили о множителе 2), а после того как на помощь будут призваны два других измерения, мы найдем

PV=N<p•v>/3. (39.16)

о

Эта формула почти совпадает с (39.9), потому что импульс ра­вен mv, просто это более общая формула, вот и все. Произведе­ние давления на объем равно произведению полного числа ато­мов на среднее значение ¹/₃(p•v).

Чему равно p•v для фотонов? Импульс и скорость направ­лены одинаково, а скорость равна скорости света, поэтому интересующее нас произведение — это импульс фотона, ум­ноженный на скорость света. Произведение импульса фотона на скорость света — это энергия фотона: Е=рс. Мы имеем дело с энергией каждого фотона и должны умножить среднюю энергию фотона на число фотонов. Получается одна треть пол­ной энергии:

PV=Ui3 (в случае фотонного газа). (39.17)

Для фотонов, следовательно, поскольку впереди стоит ¹/₃, множитель (g-1) в (39.11) равен ^l/₄, т. е. g= ⁴/₃, значит, излучение в ящике подчиняется закону

РV^4/3=С. (39.18)

Таким образом, мы знаем сжимаемость излучения! Можно ис­пользовать эту формулу при анализе вклада излучения в дав­ление внутри звезды, подсчитать давление и оценить, как оно изменяется при сжатии звезды. Просто удивительно, как много мы уже умеем!