Обратимые машины

Давайте разберемся в наших машинах получше. Одно из свойств всех машин нам уже известно. Если в машине есть трение, то неизбежны потери энергии. Наилучшей машиной была бы машина вообще без трения. Предположим, что мы имеем дело с теми же идеальными машинами, что и при изучении закона сохранения энергии, т. е. машинами, которым совсем не надо преодолевать трения.

А теперь обсудим аналог движения без трения — «лишенный трения» перенос тепла. Если мы приложим горячее тело к телу, обладающему более низкой температурой, то возникнет теп­ловой поток. Тепло течет от горячего тела к холодному, и, чтобы довернуть поток вспять, нужно слегка изменить темпе­ратуру какого-нибудь одного тела. Но машина, лишенная трения, будет под действием сколь угодно малой силы послушно двигаться туда, куда ей приказывают, а когда сила будет дей­ствовать в другую сторону, охотно последует за ней. Аналогом машины без трения может служить устройство, в котором бес­конечно малые изменения температуры могут повернуть тепло­вой поток вспять. Если разность температур конечна, то это невозможно. Но если тепло течет между двумя телами прак­тически при одинаковой температуре и достаточно бесконечно малого изменения температуры, чтобы поток повернул в любом направлении, то поток считается обратимым (фиг. 44.4).

 

Фиг. 44.4. Обрати­мый перенос тепла.

 

 

Если нагреть слегка левую половину тела, тепло потечет вправо; если чуть-чуть охладить левую половину, тепло устремится влево. Итак, оказалось, что идеальной машиной является так называемая обратимая машина, в которой любой процесс обратим в том смысле, что малейшие изменения условий работы могут заставить машину работать в обратном направлении. Это означает, что машина не должна ни в каком месте иметь трения; в такой машине не должно быть также места, где тепло резер­вуара или пар котла прямо соприкасались бы с какими-то более холодными или более горячими частями.

Займемся идеальной машиной, в которой обратимы все процессы. Чтобы показать, что создание такой машины в прин­ципе возможно, мы просто приведем пример рабочего цикла, причем нас не интересует возможность его практической реализации, достаточно того, что с точки зрения Карно он обратим.

Предположим, что в цилиндре, оборудованном поршнем без трения, имеется газ. Это не обязательно идеальный газ. Со­держимое цилиндра вообще не обязано быть газом. Но для определенности будем считать, что в цилиндре идеальный газ. Предположим еще, что имеются две тепловые подушки Т₁ и Т₂— два очень больших тела, поддерживаемых при опре­деленных температурах T₁ и Т₂ (фиг. 44.5).

 

 

Фиг. 44.5. Шаги цикла Карно.

а — шаг 1. Изотермическое расшире­ния при t₁, поглощается тепло Q₁; 6 — шаг 2. Адиабатическое расшире­ние; температура падает от T₁, до Т₂; в —шаг 3. Изотермическое сжа­тие при Т₂; выделяется тепло Q₂; г —шаг 4. Адиабатическое сжатие; температура поднимается от Т₂, до T₁.

 

Будем считать, что Т₁ больше Т₂. Для начала нагреем газ и, положив цилиндр на подушку T₁, позволим газу расшириться. Пусть по мере притока тепла в газ поршень очень медленно выдвигается из цилиндра. Тогда можно поручиться, что темпе­ратура газа не будет сильно отклоняться от Т₁. Если выдер­нуть поршень очень быстро, температура в цилиндре может упасть значительно ниже Т₁ и процесс уже нельзя будет счи­тать полностью обратимым. Если же мы будем медленно вы­таскивать поршень, температура газа останется близкой к температуре Т₁. С другой стороны, если поршень медленно вдвигать обратно в цилиндр, температура станет лишь чуть-чуть повыше температуры Т₁ и тепло потечет вспять. Вы видите, что такое изотермическое (при постоянной температуре) рас­ширение может быть обратимым процессом, если только произ­водить его медленно и осторожно.

Чтобы лучше понять, что происходит, нарисуем кривую зависимости давления газа от его объема (фиг. 44.6).

 

 

 

Фиг. 44.6. Цикл Карно.

 

Когда газ расширяется, его давление падает. Кривая 1 показывает, как изменяются объем и давление, если в цилиндре поддер­живается постоянная температура Т₁. Для идеального газа эта кривая описывается уравнением PV=NkT₁. Во время изотер­мического расширения по мере увеличения объема давление падает, пока мы не остановимся в точке b. За это время газ заберет из резервуара тепло Q₁, ведь мы уже знаем, что если бы газ расширялся, не соприкасаясь с резервуаром, он бы остыл. Итак, мы закончили расширение в точке b. Давайте теперь: снимем цилиндр с резервуара и продолжим расширение.

Но теперь теплу уже неоткуда взяться. И снова мы медленно выдвигаем поршень, так что нет причины, почему бы процесс мог быть необратимым. Конечно, мы опять предполагаем, что трения нет. Газ продолжает расширяться, и температура па­дает, потому что связь с источниками тепла прервана.

Будем расширять газ так, чтобы расширение описывалось кривой 2 до тех пор, пока мы не достигнем точки с, где температура упадет до T₂. Такое расширение без притока тепла называется адиабатическим. Мы уже знаем, что в случае иде­ального газа кривая 2 имеет вид PV^g=const, где g — постоян­ная, большая единицы; поэтому адиабатическая кривая падает круче изотермической. Если температура газа в цилиндре

достигла Т₂, то, положив цилиндр на вторую тепловую подушку, мы не рискуем вызвать температурных изменений.

Теперь можно медленно сжать газ, продвигаясь по кривой 3, причем цилиндр соприкасается с резервуаром при температуре t₂ (см. фиг. 44.5, шаг 2). Поскольку цилиндр соприкасается с резервуаром, его температура не может повыситься, но газу придется отдать резервуару тепло Q₂ при температуре T₂. Продвинувшись по кривой 3 до точки d, мы снова снимем цилиндр с тепловой подушки при температуре Т₂ и продолжаем сжимать газ. На этот раз мы не станем отбирать у газа тепло. При этом поднимется температура, а давление пойдет по кривой 4. Если мы тщательно проделаем все этапы, то вернемся к исходной точке а при температуре Т₁ и можем повторить цикл. По этой диаграмме судя, газ совершил полный цикл, отняв за это время тепло Q₁ при температуре T₁ и отдав тепло Q₂ нри температуре T₂. Этот цикл обратим, и поэтому мы можем шаг за шагом проделать весь путь в обратном направлении. Мы могли бы пойти назад, а не вперед, могли бы начать движение из точки а при температуре T₁, двигаться по кривой 4, затем поглотить тепло Q₂ при температуре T₂ (для этого надо все время выдвигать поршень) и т. д., пока цикл не будет завершен. Если мы совершали цикл в одном направлении, то заставили газ работать, если же нам захотелось повернуть назад, то придется поработать самим.

Между прочим, легко сосчитать полную работу. Полная работа, совершаемая при расширении, равна произведению давления на изменение объема: ∫PdV. На нашей диаграмме мы откладывали Р вертикально, а V горизонтально. Если обозначать вертикальное расстояние буквой у, а горизонталь­ное буквой х, то мы получим интеграл ∫ydx, а это — пло­щадь под кривой. Таким образом, площадь под каждой из пронумерованных кривых измеряет работу, совершенную либо газом, либо нами за соответствующий этап цикла. Легко по­нять, что чистый выход работы равен площади внутри кривых. Раз уж мы привели пример одной обратимой машины, то можно предположить, что возможно существование и других таких же устройств. Пусть обратимая машина А забирает Q₁ при T₁ совершает работу W и возвращает какое-то количество тепла при температуре Т₂. Предположим, что у нас есть еще одна машина В — творение рук человека, уже сконструиро­ванная, а может быть, еще и не изобретенная. Можно взять паровую машину, колесо с резиновыми спицами — словом, что угодно. Мы даже не интересуемся, обратима ли эта машина. Важно только, чтобы она забирала тепло Q_l при температуре Т₁ и возвращала часть этого тепла при более низкой темпера­туре Т₂. Предположим, что машина В совершает некую работу W'. Теперь покажем, что W' не может быть больше W; нет такой машины, которая работала бы лучше, чем обра­тимая. Но почему? Предположим, что W' больше W. Тогда мы можем забрать тепло Q₁ при температуре Т₁ и отдать его машине В. Эта машина совершит работу W' и отдаст какое-то количество тепла (неважно какое) резервуару с температурой Т₂. После этого мы можем распорядиться какой-то частью работы W', которую мы считаем больше W. Прибережем пока часть работы W, а остаток W'-W употребим с пользой для себя (фиг. 44.7).

 

Фиг. 44.7. Машина В застав­ляет работать обратимую ма­шину А в обратном направлении.

 

Обладая работой W, можно запустить машину А в обратном направлении, ведь это — обратимая машина. При этом она поглотит какое-то количество тепла из резервуара с температурой Т₂, но зато вернет тепло Q₁ резервуару при темпе­ратуре Т₁. Каков чистый результат этого двойного цикла? Мы вернули все к исходному состоянию и совершили дополнитель­ную работу W'-W. Дело свелось к тому, что мы извлекли энергию из резервуара с температурой Т₂! Тепло Q₁, взятое из резервуара с температурой T₁ , было аккуратно возвращено. Раз это тепло все равно возвращается, то в качестве резервуара с температурой Т₁ можно взять что-нибудь поменьше океана и заключить это устройство внутрь составной машины А+В. Чистым результатом цикла такой машины будет изъятие из резервуара при температуре Т₂ тепла W'-W и превращение его в работу. Но извлечение полезной работы из резервуара при неизменной температуре без других изменений запрещается постулатом Карно. Этого нельзя сделать. Таким образом, не существует таких машин, которые извлекли бы некоторое количество тепла из резервуара при температуре Т₁, возвратили бы какую-то его часть при температуре Т₂ и совершили боль­шую работу, чем обратимая машина, работающая при тех же самых температурных условиях.

Предположим теперь, что машина В тоже обратима. Тогда, конечно, не только W' не больше W, но и W не больше W'. Чтобы доказать это, надо просто обратить предыдущие аргу­менты. Итак, если обе машины обратимы, то они должны производить одинаковую работу, и мы пришли к блестящему выводу Карно: если машина обратима, то безразлично, как она умудряется превращать тепло в работу. Произведенная машиной работа, если только машина поглощает определенное количество тепла при температуре Т₁ и возвращает какую-то его часть при температуре Т₂, не зависит от устройства ма­шины. Так уж устроен мир, и от частных свойств машины это не зависит.

Если бы мы нашли закон, определяющий работу, со­вершаемую при изъятии тепла Q₁ при температуре Т₁ и возвращении части этого тепла при температуре T₂, то эта величина была бы универсальной постоянной, не зависящей от свойств вещества. Конечно, если нам известны свойства какого-нибудь вещества, мы можем вычислить интересующую нас величину. После этого мы будем вправе заявить, что все остальные вещества, если с их помощью построить обратимую машину, произведут точно такую же работу. Такова основная идея, ключ, с помощью которого мы можем найти последующие соотношения. Например, мы хотим узнать, насколько резина сжимается при нагревании и насколько она остывает, когда мы позволяем ей сжаться. Предположим, что мы взяли резину в качестве рабочего вещества обратимой машины и совершили обратимый цикл. Чистый результат, полная произведенная работа,— это универсальная функция, великая функция, не зависящая от свойств вещества. Таким образом, мы убежда­емся, что есть нечто, ограничивающее в известном роде разно­образие свойств вещества. Мы не можем сделать эти свойства какими захотим, не можем изобрести вещество, которое, будучи использованным в тепловой машине, произвело бы за обратимый цикл работу больше допустимой. Этот принцип, это ограни­чение,— единственное реальное правило, которое можно вы­вести из термодинамики.