Коэффициент полезного действия идеальной машины

А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q₁, Т₁ и Т₂ . Ясно, что W пропорционально Q₁, ибо если две обратимые машины работают в параллель, то такая сдвоенная машина тоже будет обратимой машиной. Если каждая из этих машин поглощает тепло Q₁, то обе сразу поглощают 2Q₁, а работа, которую они совершают, равна 2 W и т. д. Поэтому пропорциональность W затраченному теплу Q₁ вполне естественна.

После этого сделаем еще один важный шаг к универсальному закону. В качестве рабочего вещества машины можно взять одно вещество с хорошо известными нам свойствами. Восполь­зуемся этим и выберем идеальный газ. Можно и не делать этого, а вывести интересующее нас правило чисто логически, совсем не используя для этого какого-то вещества. Это одно из самых блестящих теоретических доказательств в физике, но пока мы используем менее абстрактный и более простой метод прямого вычисления.

Нам нужно лишь получить формулы для Q₁ и Q₂ (ведь W=Q₁-Q₂) — тепла, которым машина обменивается с резерву­арами во время изотермического расширения и сжатия. Для примера вычислим Q₁— тепло, полученное от резервуара при температуре T₁ во время изотермического расширения (кривая 1 на фиг. 44.6) от точки а, где давление равно p_a, объем V_a, тем­пература Т₁, до точки b, где давление равно р_b, объем V_b, а тем­пература та же самая T₁. Энергия каждой молекулы идеального газа зависит только от температуры, а поскольку в точках а и b одинаковы и температура, и число молекул, то и внутренняя энергия тоже одинакова. Энергия U не изменяется; полная рабо­та газа в период расширения

W=_a^b∫pdV

а

совершается за счет энергии Q₁ , полученной из резервуара. Во время расширения pV=NkT₁ или

p-NkT₁/V; значит,

 

т. е.

Q₁=NkT₁ln(V_b/V_a).

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т₁. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T₂:

Q₂=NkT₂ln(V_c/V_d). (44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V_c/V_d и V_b/V_a. Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c. В это время pV^g остается постоянным. Поскольку pV=NkT, то фор­мулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V^g-1=const, или TV^g-1=const, т. е.

T₁V_b^g-1=T₂V_c^g-1. (44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а, то

Т₁V_a^g-1=T₂V_d^g-1. (44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V_b/V_a и V_c/V_d равны, поэтому равны и лога­рифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

Q₁/T₁=Q₂/T₂. (44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно дока­зано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины.

А теперь посмотрим, как можно вывести этот универсальный закон на основании только логических аргументов, не интере­суясь частными свойствами веществ. Предположим, что у нас есть три машины и три температуры Т₁, Т₂ и Т₃. Одна машина поглощает тепло Q₁ при температуре T₁, производит работу W₁₃ и отдает тепло Q₃ при температуре T₃ (фиг. 44.8).

Фиг. 44.8. Спаренные машины 1 и 2 эквивалентны машине 3.

 

Другая машина работает при перепаде температур t₂ и Т₃. Предположим, что эта машина устроена так, что она поглощает то же тепло Q₃ при температуре Т₃ и отдает тепло Q₂. Тогда нам придется затратить работу W₃₂, ведь мы заставили машину работать в обратном направлении. Цикл первой машины заклю­чается в поглощении тепла Q₁ и выделении тепла Q₃ при тем­пературе Т₃. Вторая машина в это время забирает из резер­вуара то же самое тепло Q₃ при температуре T₃ и отдает его в резервуар с температурой Т₂. Таким образом, чистый резуль­тат цикла этих спаренных машин состоит в изъятии тепла Q_l при температуре Т₁ и выделении тепла Q₂ при температуре T₂. Эти машины эквивалентны третьей, которая поглощает тепло Q_l при температуре Т₁, совершает работу W₁₂ и выделяет тепло Q₂ при температуре Т₂. Действительно, исходя из первого за­кона, можно сразу же показать, что W₁₂=W₁₃-W₃₂:

W₁₃-W₃₂=(Q₁-Q₃)=(Q₂-Q₃)=Q₁-Q₂=W₁₂ . (44.8)

Теперь можно получить закон, связывающий коэффициенты полезного действия машин. Ведь ясно, что между эффективностями машин, работающих при перепаде температур Т₂-T₃, t₂-Т₃ и Т₁-Т₂, должны существовать определенные соотно­шения.

Сформулируем пояснее наши аргументы. Мы убедились, что всегда можем связать тепло, поглощенное при температуре T₁ и тепло, выделенное при температуре T₂, определив тепло, выделенное при какой-то другой температуре T₃. Это значит, что мы можем описать все свойства машины, если введем стан­дартную температуру и будем анализировать все процессы с помощью именно такой стандартной температуры. Иначе говоря, если мы знаем коэффициент полезного действия машины, рабо­тающей между температурой Т и какой-то стандартной темпе­ратурой, то сможем вычислить коэффициент полезного действия машины, работающей при любом перепаде температур. Ведь мы рассматриваем только обратимые машины, поэтому ничто не мешает нам спуститься от начальной температуры к стандарт­ной, а потом снова вернуться к конечной температуре. Примем температуру в один градус за стандартную. Для обозначения выделяемого при стандартной температуре тепла используем особый символ Q_s. Это значит, что если машина поглощает при температуре Т тепло Q, то при температуре в один градус она выделяет тепло Q_S. Если какая-то машина, поглощая тепло Q₁ при T₁, выделяет тепло Q_S при температуре в один градус, а другая машина, поглотив тепло Q₂ при Т₂, выделяет то же самое тепло Q_S при температуре в один градус, то машина, поглощающая Q₁ при Т₁ , должна при температуре Т₂ выделять тепло Q₂. Мы уже доказали это, рассмотрев три машины, ра­ботающие при трех температурах. Таким образом, для полного описания работы машин нам остается узнать совсем немного. Мы должны выяснить, сколько тепла Q₁ должна поглотить ма­шина при температуре T₁ , чтобы выделить при единичной тем­пературе тепло Q_S. Конечно, между теплом Q и температурой Т существует зависимость. Легко понять, что тепло должно воз­растать при возрастании температуры, ведь мы знаем, что если заставить работать машину в обратном направлении, то при более высокой температуре она отдает тепло. Легко также по­нять, что тепло Q₁ должно быть пропорционально Q_S. Таким образом, наш великий закон выглядит примерно так: Каждому количеству тепла Q_S, выделенного при температуре в один градус, соответствует количество тепла, поглощенного машиной при температуре Т, равное Q_S, умноженному на не­которую возрастающую функцию Q температуры:

Q=Q_Sf(T). (44.9)