Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим

 

Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает

 

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,

 

 

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распростра­нялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д²c/dt² не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производ­ную входит только v². Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c_s.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c₁ . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c₁ по t₁, умноженной на 1/с^2s. И пусть есть второе решение c₂, обладаю­щее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда полу­чается

c (x, t)= c₁(x, t) + c₂(x, t). (47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t) тоже представ­ляет некую волну, т. е. c тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

 

и вдобавок

 

 

Отсюда следует, что d²c/dx²=(l/c²_s)д²c/dt², так что справедли­вость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлет­воряет волновому уравнению

 

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения элект­родинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому урав­нению для звука.