Скорость звука
При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с2s=(dP/dr)0. (47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло передается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меняются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны велика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что поглощение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.
Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому изменению давления, для которого мы нашли, что PVg=const, где V — объем. Поскольку плотность r обратно пропорциональна объему, связь P и r для адиабатических процессов дается соотношением
P=const•rg, (47.22)
откуда мы получаем dP/dr=gP/r. Тогда для скорости звука возникает соотношение
c2s =gP/r. (47.23)
Можно еще написать с2s= gPV/rV и использовать соотношение PV=NkT. Мы видим, кроме того, что rV есть масса газа, которую можно записать как Nm или m, где m — масса молекулы, а m — молекулярный вес. Таким образом, находим
откуда видно, что скорость звука зависит только от температуры газа и не зависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что
kT=1/3m<v2>, (47.25)
где <v2> — средняя квадратичная скорость молекул. Отсюда следует, что с2s=g/3 <v2>, или
Это равенство означает, что скорость звука есть средняя скорость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умноженная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3)1/2. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.
В общем-то мы могли этого ожидать, потому что такое возмущение, как изменение плотности, передается в конечном счете движением молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самыми быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости.
* При таком выборе Pотн Р — уже не максимальная амплитуда звукового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максимальному, деленному на 1/Ö2.