Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими об­щими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, при­званные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волна­ми. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

 

 

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это ско­рость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но из­быточное давление, как и избыточная плотность, тоже распро­страняется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.

Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоя­тельно. Указание: r_u пропорционально скорости изменения c с расстоянием х. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х, мы немедленно обнаружим, что дc/дх удовлет­воряет тому же самому уравнению. Другими словами, r_u удов­летворяет тому же самому уравнению. Но Р_u пропорционально r_u, поэтому и Р_u удовлетворяет тому же самому уравнению. Та­ким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с дав­лением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, отно­сится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описы­вается решением ехр[i(wt-kx)], где w=kc_S. Кроме того, нам из­вестно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(wt-k_xx-k_yy-k_zz)], и в этом случае w²=k²с_S² [сокращен­ная запись (k²_x+k²_y+k²_z)c²_S]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естествен­но, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

 

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции exp[i(wt-k•r)]. Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на -ik_x. Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на -k²_x, так что для такой волны первый член получится равным -k²_xP_u. Точно таким же образом второй член окажется равным -k²_уР_u, а третий — равным -k²_zP_u. С правой же стороны мы получим -w²/c²_SР_u. Если мы вынесем 1 за скобку Р_и и изменим знаки всех членов, то увидим, что между k и w как раз получится желаемое соотношение.

Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному урав­нению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если j — амплитуда нахождения частицы в момент t в точке с координатами х, у и z, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид

 

 

 

Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат x, y, z и вре­мени t в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравне­ние волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство -k²+w²/c²=m²c²/h², которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!