Теорема об энергии

Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.

Для сложной волны энергия за один период пропорциональна m

 

 

Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье.

 

Напишем

 

После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a₅cos5wtb₇cos7wt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные a²₅cos²5wt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем

 

Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая гово­рит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем

 

 

поскольку [f(t)]²=1. Таким образом мы узнали, что сумма квад­ратов обратных нечетных чисел равна p²/8. Точно так же, выпи­сав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что 1+¹/2⁴+¹/3⁴+... равно p⁴/90.