Волны в твердом теле

Следующий тип волн, о которых нам следует поговорить,— это волны в твердом теле. Мы уже рассмотрели звуковые волны в жидкости и газе, а между ними и звуковыми волнами в твер­дом теле имеется непосредственная аналогия. Если резко толк­нуть твердое тело, то оно сожмется. Оно сопротивляется сжа­тию и в нем возникнут волны, аналогичные звуковым. Однако в твердом теле могут быть волны и другого рода, которых не бывает в жидкости. Если мы возбудим колебания твердого тела с помощью бокового давления (это называется сдвигом), то тело стремится вернуться в начальное положение. Именно этим, по определению, твердое тело отличается от жидкого. Если искривить жидкость и подержать ее так немного, чтобы она успокоилась, а затем отпустить, то она останется в том же со­стоянии, но если мы возьмем твердое тело, похожее на дрожа­щий кусок желе, надавим на него и отпустим, то оно вернется на­зад, а в теле возникает волна сдвига, которая распространяется так же, как и волна сжатия. Во всех случаях скорость этих волн меньше скорости продольных волн. В каком-то отноше­нии волны сдвига больше напоминают световые волны, ибо здесь мы тоже имеем дело с поляризацией. У звука нет ника­кой поляризации, это просто волна сжатия, а световые колеба­ния имеют характерную ориентацию, перпендикулярную к направлению их распространения.

Итак, в твердом теле могут быть волны обоих сортов. Во-пер­вых, там распространяются волны сжатия, аналогичные звуку в воздухе, и, во-вторых, волны сдвига. Если наше твердое тело не кристалл, то волна сдвига может быть поляризована в лю­бом направлении. (Конечно, все твердые тела — кристаллы, но если мы возьмем кусок, состоящий из микрокристаллов всех ориентации, то кристаллическая анизотропия усредняется.)

Есть еще один интересный вопрос, касающийся звуковых волн. Что получится, если длина волны в твердом теле стано­вится все меньше и меньше? До каких пор может это продол­жаться? Ясно, что она не может стать меньше расстояния между атомами, ибо если под волной мы понимаем такое явление, когда одна точка идет вниз, а следующая — вверх и т. д., то кратчайшая возможная длина волны при этом, очевидно, равна межатомному расстоянию. Вам известно, что колебания могут быть как про­дольные, так и поперечные, длинноволновые и коротковолновые.

Если мы рассматриваем длины волн, сравнимые с межатомным расстоянием, то скорость уже не будет постоянной; возникает дисперсионный эффект, когда скорость становится зависимой от волнового числа. А высшая гармоника поперечных волн все же должна характеризоваться именно тем, что каждые два со­седних атома делают нечто противоположное друг другу.

С атомистической точки зрения ситуация здесь напоминает два связанных маятника, о которых мы уже говорили. У них могут быть два вида собственных колебаний: один — когда они качаются вместе, и другой — когда в противоположные стороны. Так что волны в твердом теле можно рассматривать и с иной точки зрения — как колебания связанных гармонических ос­цилляторов, подобных огромному числу связанных маятничков, причем высшая гармоника получается, когда маятнички колеблются в противоположные стороны, и низшие — при дру­гих соотношениях фаз.

Эти кратчайшие волны настолько малы, что обычно их не­возможно получить технически. Однако они очень интересны, поскольку свойства этих коротких звуковых волн помогают нам объяснить в термодинамической теории твердого тела его тепловые свойства, в частности удельную теплоемкость. Переход к предельно коротким звуковым волнам означает переход к ин­дивидуальному движению атомов; это в конечном счете одно и то же.

Очень интересным примером звуковых волн в твердом теле являются волны, идущие по земному шару, как продольные, так и поперечные. Хотя нам и не известно почему, но внутри Земли время от времени происходят землетрясения. Одни породы сдви­гаются относительно других, и это движение сходно с очень низким звуком. Из такого источника выходят и путешествуют по всей Земле волны, подобные звуковым, и хотя их длина зна­чительно больше длины обычных звуковых волн, но все же это звуковые волны. Наша Земля не однородна: давление, плотность, сжимаемость и т. д. изменяются с изменением глубины, а поэ­тому изменяется и скорость. Возникает нечто похожее на пока­затель преломления, и волны идут не по прямому пути, а по некоторой кривой. Кроме того, картина осложняется тем, что продольные и поперечные волны распространяются с разной скоростью, а поэтому и решения для них будут разными. Если мы в каком-то месте поставим сейсмограф и будем наблюдать, как скачет его самописец после того, как где-то произошло землетрясение, то мы увидим не просто какие-то неправильные прыжки. Мы увидим, как самописец сначала запрыгает, затем успокоится, затем опять запрыгает. Более конкретные детали происходящего зависят от положения сейсмографа. Если он расположен достаточно близко к месту землетрясения, то сна­чала мы примем продольные волны от возмущения, а уж потом, несколько секунд спустя,— поперечные, ибо они идут медленней. Измеряя разницу времени между их приходами, можно ска­зать, насколько далеко произошло землетрясение, разумеется, если мы достаточно хорошо знаем скорости и состав внутрен­них областей.

На фиг. 51.6 показан пример поведения различных видов волн в Земле.

 

Фиг. 51.6. Схема земного шара.

Показаны пути продольных и поперечных звуковых волн.

 

Два сорта волн обозначены различными знач­ками. Если в каком-то месте (назовем его «источник») произошло землетрясение, то поперечные и продольные волны, идущие по прямому пути, придут на станцию в разные моменты времени. Кроме того, возникнут отражения от границ неоднородности, дающие в результате другие пути и времена. Подобные иссле­дования показали, что у Земли есть некое ядро, не проводящее поперечных волн. Однако даже если станция расположена диа­метрально противоположно источнику, то поперечные волны все же приходят, но с неправильной фазой. Это получается от­того, что поперечные волны, падающие наклонно на поверх­ность, разделяющую два вещества, всегда рождают две новые волны: поперечную и продольную. Но внутри ядра Земли по­перечные волны не распространяются (по крайней мере в отли­чие от продольных волн для них этого не обнаружено). Затем на границе ядра оба вида волн возникают вновь и попадают на станцию.

Именно по поведению волн, вызванных землетрясениями, было обнаружено, что поперечные волны не могут распростра­няться в некоторой сфере внутри Земли. Это означает, что центр Земли жидкий в том смысле, что он не проводит поперечных волн. Изучение землетрясений — это единственный источник наших сведений о внутреннем строении Земли. Таким образом, в результате большого числа наблюдений на различных стан­циях в период многих землетрясений были выяснены все детали; известно все: скорости, кривые и т. д. Мы знаем скорости раз­личных сортов волн на любой глубине. А зная это, мы, следо­вательно, можем выяснить, каковы собственные гармоники Земли, ибо нам известна скорость распространения звуковых волн: другими словами, известны упругие свойства на любой глубине. Предположим, что мы приплюснули земной эллипсоид и затем отпустили его. Задача определения периода и формы сво­бодных колебаний сводится просто к вопросу о суперпозиции волн, идущих по эллипсоиду. Мы уже выяснили, что при по­добном возмущении возникает множество гармоник, начиная от низшей, которая для Земли эллипсоидальна, и вплоть до более высоких и более сложных.

Чилийское землетрясение в мае 1960 г. произвело такой «шум», что его эхо много раз обошло вокруг Земли. Как раз к этому времени были изготовлены новые высокочувствитель­ные сейсмографы, с помощью которых определялись основные гармоники Земли и сравнивались с величинами, вычисленными из теории звука по известным скоростям, найденным из других независимых землетрясений. Результат этого эксперимента по­казан на фиг. 51.7, где отложена сила сигнала в зависимости от его частоты (фурье-анализ).

 

Фиг. 51.7. Зависимость силы от частоты, зарегистрированная сейсмографом в городах Нака (Перу) и Изабелла (Калифорния).

Согласованность (или когерентность) обозначает степень связанности сигналов, регистрируемых этими станциями.

Заметьте, что одни из прини­маемых частот оказывались более сильными, чем другие; на­блюдались очень четкие максимумы. Это и есть собственные ча­стоты Земли, поскольку они являются главными частотами ее колебаний.

Иными словами, если все движение Земли сводится к су­перпозиции множества различных гармоник, то можно на­деяться, что запись нерегулярных толчков на любой станции даст одну и ту же суперпозицию многих частот. Если проанали­зировать это в терминах частот, то мы сможем определить ха­рактеристические частоты Земли. Тонкие вертикальные линии на рисунке изображают рассчитанные частоты, и мы видим за­мечательное согласие, убеждающее нас, что теория звука вполне работает и внутри Земли.

Очень интересный факт обнаруживается на фиг. 51.8, где представлены очень точные измерения (с еще большим разреше­нием) низшей эллипсоидальной гармоники.

 

Фиг. 51.8.Фурье-ана­лиз записи высокочувст­вительного сейсмографа на станции Изабелла. Хорошо виден спектральный дублет.

 

Заметьте, что здесь не один, а два немного отличающихся максимума: первый — с периодом 54,7 мин и второй — 53,1 мин. Природа этих двух максимумов не была известна, когда они были обнаружены, хотя с тех пор ее могли найти. Существуют по крайней мере два правдоподобных объяснения. Одно из них — это возможная асимметрия в распределении вещества Земли, которая может дать два подобных максимума. Другое, еще более интересное объяснение состоит в следующем. Вообразите волны, идущие от источника вокруг Земли в двух направлениях. Если мы в уравнениях движения учтем эффект вращения Земли, кото­рым обычно пренебрегали при анализе, то скорости этих волн окажутся разными. Движение во вращающейся системе из-за действия кориолисовой силы изменяется, и это может вызвать наблюдаемое расщепление.

Коротко о методе получения этих кривых. На сейсмографе мы записываем не зависимость амплитуды от частоты, а пере­мещение как функцию времени, причем всегда какой-то очень неправильной и причудливой формы.

Чтобы найти из нее долю различных синусообразных волн для всех частот, мы уже знаем, что нужно делать. Фокус состоит в умножении полученных данных на синусообразную волну данной частоты и интегрировании, т. е. усреднении; при этом усреднении все другие частоты исчезают.

Таким образом, на рисунках фактически показаны гра­фики интегралов от произведения полученных данных на синусообразные волны с различным числом периодов в ми­нуту.