Тензорное исчисление

Физические свойства кристаллов описываются соотношениями между измеряемыми величинами. Если свойство определяется соотношением между величинами, каждая из которых характеризуется как величиной, так и направлением, то это свойство будет зависеть от направления, в котором оно измеряется. В таких случаях говорят, что кристалл анизотропен в отношении рассматриваемых свойств.

Большинство свойств описывается математическими величинами, называемыми тензорами.

Одной из задач физики является вычисление этих тензоров для конкретных кристаллов в зависимости от их атомной и кристаллической структуры.

Вектор полностью определяется заданием значений трех его компонент вдоль координатных осей. Векторы называются тензорами первого ранга.

Тензоры второго ранга

Пусть электрическое поле, заданное вектором , действует на проводник, тогда по проводнику течет ток. Плотность тока . Закон Ома

.

Если проводник изотропен, то , каждая компонента пропорциональна соответствующей компоненте .

Если проводник представляет собой кристалл, то отношение между и не будет таким простым (кубические кристаллы образуют особую группу кристаллов, электропроводность которых изотропна).

Каждая компонента линейно зависит от всех трех компонент , т. е. и по направлению не совпадают.

Поэтому, чтобы определить электропроводность, мы должны задать все 9 коэффициентов.

Эта таблица обозначает тензор второго ранга, а , – компоненты этого тензора.

В общем случае, если свойство Т связывает два вектора и таким образом, что

то Т_ij образуют тензор второго ранга

_{; ;}

или

; .

Если в одном и том же члене индекс повторяется дважды, то суммирование ведется по этому индексу.

Индекс j называется индексом суммирования.

Найдем закон преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой.

Сначала определим правила преобразования осей координат, а затем, как преобразуются при переходе к новым осям компоненты векторов.

Преобразование осей координат – переход от одной системы осей координат к другой. Масштабные отрезки вдоль каждой из осей всегда остаются неизменными. Оси координат связаны таблицей направляющих косинусов – матрицей.

старые оси
- матрица новые оси		х1	х2	х3
х1/	а11	а12	а13
х2/	а21	а22	а23
х3/.	а31	а32	а33

 

в системе осей x₁, x₂, x₃, – в системе .

;

;

.

При переходе от старой системы координат к новой индексы суммирования стоят рядом. При обратном преобразовании индексы суммирования отделены друг от друга.

в системе координат x₁, x₂, x₃.

Возьмем новую систему осей , связанных со старыми осями направляющими косинусами. Векторы и в новой системе будут иметь компоненты и .

Используем схему: .

;

;

;

;

.

(**) – закон преобразования тензоров второго ранга.

Это выражение представляет собой совокупность девяти уравнений, каждое из которых имеет девять членов в правой части.

В преобразовании, которое выражает новые компоненты через старые, индексы суммирования стоят как можно ближе друг к другу. В обратном преобразовании индексы суммирования стоят как можно дальше.

;

.

Закон преобразования тензора первого ранга совпадает с законом преобразования координат точки.

;

.

Аналогично закон преобразования тензора второго ранга совпадает с законом преобразования произведения координат.

Рассмотрим произведение , образованные координатами некоторой точки в системе осей . Координаты той же точки в системе будут

.

Формально этот закон совпадает с формулой **. Поэтому можно сказать, что компоненты тензора преобразуется так же, как произведение .