Тензоры третьего ранга

У некоторых кристаллов при приложении к ним механического напряжения возникает электрический момент, величина которого пропорциональна приложенному напряжению. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом.

Величина поляризационнного заряда на единицу площади, или величина электрического момента на единицу объема определяется уравнением

,

где d – константа, называемая пьезоэлектрическим модулем; s – тензор напряжения.

Напряженное состояние характеризуется тензором второго ранга с девятью компонентами, поляризация кристалла – вектор, описывается тремя компонентами. Экспериментально найдено, что когда произвольное напряжение действует на пьезоэлектрический кристалл, то каждая компонента поляризации Р_i линейно связана со всеми компонентами s_ij.

для Р₂ и Р₃ уравнения аналогичны.

Можно записать

или еще более кратко

. Это общее соотношение между Р_i и s_jk,

d_ijk – пьезоэлектрические модули.

Если к кристаллу приложено одноосное растягивающее напряжение s₁₁, то возникающая поляризация имеет компоненты

, , .

Измеряя Р₁, Р₂, Р₃, в этом случае можно найти d₁₁₁, d₂₁₁, d₃₁₁.

Пусть к кристаллу приложено сдвиговое напряжение .Если исключить объемные моменты, то при приложении напряжения одновременно появляется компонента . Поэтому имеем

.

Аналогичные уравнения можно записать для Р₂ и Р₃. Таким образом, сумма имеет определенный физический смысл, но невозможно придумать эксперимент, с помощью которого можно было бы отделить от . Поэтому принимается , т. е. в общем случае

.

Всего коэффициентов 27 и они представляют пример тензора третьего ранга. Тензоры определяются путем задания закона преобразования.

Рассмотрим общий случай.

Р_i –физическая величина, описываемая группой чисел р_i,определена как тензор первого ранга, если

.

Закон преобразования тензора второго ранга [T_ij] записывается в виде

.

Поэтому Т_ijk (27 чисел), описывающих некоторую физическую величину, образуют тензор третьего ранга, если они при изменении осей координат преобразуются в по следующему закону:

.

Уравнение это есть закон преобразования произведений трех сомножителей типа . Это становится очевидным, если рассмотреть произведение

или

.

Итак, любая заданная компонента тензора третьего ранга преобразуется аналогично произведению координат. Например, Т₁₁₂ преобразуется подобно . Вернемся к коэффициентам . Предположим, что на кристалл действует некоторое фиксированное механическое напряжение, заданное компонентами в системе координат и компонентами в системе . Возникающая поляризация задается компонентами в системе и в системе . Общая форма связи и сохраняется независимо от выбора системы координат для описания поляризации и напряжений. Поэтому для компонент в системе координат мы можем записать

,

– иная совокупность 27 коэффициентов,

;

.

Схема преобразования

;

_;

,

т. е. образуют тензор третьего ранга, так как они подчиняются закону преобразования тензоров третьего ранга.