Уменьшение числа независимых модулей
В общем случае тензор третьего ранга имеет 33 независимых компонент. Если выписать полностью все его компоненты, то они образуют не квадратную таблицу, а куб.
Первый индекс означает слой, второй - строку, третий- столбец.
 |
Так как тензор dijk симметричен по j и k, то из числа независимых компонент можно исключить коэффициенты, стоящие в скобках, останется 18 независимых компонент.
Таблица примет следующий вид:
Здесь введены матричные обозначения
; 
.
Тензорное обозначение 11 22 33 23 32 31 13 12 21
матричное обозначение 1 2 3 4 5 6,
тогда
или
.
Множители 
вводятся в таблицу, чтобы избежать появления двоек в уравнениях для Р.
Таблица dij приобретет вид
– это матрица. Строки матрицы соответствуют слоям таблицы dijk. При этом в записи появляется большая компактность.
Поскольку кристалл – симметричное тело, то происходит дальнейшее уменьшение числа независимых пьезоэлектрических модулей. Рассмотрим влияние центра симметрии.
Предположим, что кристалл, обладающий центром симметрии, подвергнут действию механического напряжения произвольного вида и поляризуется. Теперь представим, что вся система – кристалл + напряжение – симметрично отражена относительно центра симметрии. Напряжение центросимметрично – оно не изменится, не изменится и кристалл, поляризация же изменит направление на противоположное, т. е. получим, что тот же самый кристалл, под действием такого же напряжения имеет противоположную поляризацию, т. е. поляризация должна быть равна нулю. Следовательно, кристалл, обладающий центром симметрии, не может быть пьезоэлектриком.
Рассмотрим модуль 
для класса 4.
определяет компоненту Р3 при сдвиговом напряжении, действующем в плоскости, перпендикулярной оси 
(ось перпендикулярна плоскости чертежа). Предположим, что указанное сдвиговое напряжение индуцирует диполь, параллельный с положительным знаком сверху. Изменение знака напряжения должно привести к изменению знака диполя, как показано на рис. 64. Но так как кристалл имеет ось четвертого порядка, то напряженное состояние “а” точно совпадает с напряженным состоянием “б”, единственное отличие в том, что кристалл повернут на 900. Следовательно, в обоих случаях поляризация должна быть одинаковой, а это возможно лишь тогда, когда она равна 0, т. е. =0.
Метод прямой проверки (Фуми)
Рассматривается действие любого элемента симметрии на систему координат. И учитывается свойство, что компоненты тензора преобразуются как соответствующие произведения координат.
1) Центр симметрии
; 
; 
;
; 
; 
.
Если кристалл обладает центром симметрии, это преобразование не изменяет компоненты тензора, компонента тензора d122 должна преобразовываться в себя, т. е.
, поэтому 
.
2) Ось второго порядка, параллельна х3
; ; 
;
; 
; 
.
Будем поочередно преобразовывать модули. Если знак модуля при этом изменяется, модуль должен быть равен 0. Если же знак остается неизменным, модуль не исчезнет
;
,
ясно, что сохраняются те модули, которые имеют в индексах либо одну, либо три цифры 3. Поэтому отличны от нуля только следующие модули:
и тогда матрица примет вид
(*)
3) Пример кристаллографического класса 
. Симметрия полностью определяется осью 
ççх3 и осью С2ççх1.
Ось включает в себя ось С2ççх3, поэтому используем готовую таблицу (*).
Таким образом, 
преобразуется в 
, но мы знаем, что так как кристалл обладает осью , то модуль должен преобразовываться сам в себя, т. е. 
, стрелки можно читать как знаки равенства.
Теперь С2 ççх1. Здесь в 0 должны обращаться все модули, не имеющие в индексах цифры 1 и имеющие две цифры 1
; 
; 
, .
Матрица примет вид
.