Двумерная деформация

Рассмотрим деформацию растяжимой плоской пластинки (рис. 70). Выберем начало координат. Будем ограничиваться рассмотрением малых смещений.

Пусть точка Р с координатами (х₁, х₂) переходит в точку с координатами . Вектор есть смещение точки Р. Чтобы найти деформацию в этой точке пластинки, введем четыре величины

; ; ;

или

.

– безразмерные величины, очень малые по сравнению с единицей. Чтобы определить их геометрический смысл, рассмотрим точку , лежащую вблизи Р

.

Рис. 70. Двумерная деформация

После деформации переходит в , вектор равен сумме ; – разность смещений двух точек Р и , отстоящих друг от друга первоначально на .

Тогда

;

или

суммирование по j.

и [Dx_j] – векторы, отсюда следует, что e_ij является тензором.

 

 

Рассмотрим теперь две ориентации вектора [Dx_j] параллельно Ох₁® РQ₁ и параллельно Ох₂ ®и найдем, как исказится прямоугольный элемент с вершиной в точке Р (рис. 71).

Рис. 71. Определение компонент деформаций при двумерной деформации

Для РQ₁ считаем , тогда

;

,

– определяет растяжение на единицу длины отрезка РQ₁, спроектированного на Ох₁.

,

– определяет поворот отрезка РQ₁ против часовой стрелки.

;

;

;

поворот .

В самом деле,

,

мы рассматриваем только малые смещения, и малы по сравнению с х₁, и по сравнению с .

Теперь возникает вопрос: правильно ли описывает тензор [e_ij] деформацию в точке Р. Утвердительно можно ответить, если при отсутствии искажений все компоненты равны 0.

Рассмотрим поворот пластинки как жесткого тела в его плоскости против часовой стрелки на малый угол j

.

Форма пластинки не искажается, но не обращается в 0.

Любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма симметричного и антисимметричного тензоров, т. е.

,

; , тогда тензор [e_ij], заданный таким способом, является симметричным

.

Другой введенный тензор [w_ij] антисимметричен, так как .

В случае чистого вращения тензор e_ij оказывается антисимметричным. Отсюда вывод, что симметричная часть [e_ij], т. е. тензор [e_ij] описывает деформацию.

Итак, в целом

.

Такое разделение [e_ij] на две части можно проиллюстрировать. Диагональные компоненты [e_ij] представляют собой растяжение на единицу длины вдоль осей Ох₁ и Ох₂.

Компонента измеряет тензорную деформацию сдвига.

Если в недеформированном теле два линейных элемента расположены параллельно Ох₁ и Ох₂, то после деформации угол между ними будет равен (рис. 72, средний рисунок)

Рис. 72.

 

Однородная двумерная деформация:

1) прямая остается прямой;

2) параллельные линии остаются параллельными;

3) все прямые линии, параллельные между собой, удлиняются или сокращаются в одинаковой степени;

4) эллипс переходит в другой эллипс.