Трехмерная деформация

Определение деформации трехмерного тела вводится аналогично предыдущим рассмотрениям.

(i, j = 1, 2, 3),

тогда – растяжения на единицу длины, параллельно Ох₁, Ох₂, Ох₃ соответственно; – поворот вокруг оси Ох₃ в сторону Ох₁ линейного элемента, параллельного Ох₂; – поворот вокруг оси Ох₃ в сторону Ох₂ линейного элемента, параллельного Ох₁ и т.д.

Если тело вращается без деформации, то соответствующий тензор [e_ij] антисимметричен. Выберем начало координат на оси вращения

при чистом вращении смещение любой точки перпендикулярно ее радиусу вектору.

(по правилу скалярного произведения)

, т. е.

, если i = j ,

, если i ¹ j.

Это условие антисимметричности.

Тензор деформации [e_ij] определяется как симметричная часть [e_ij]

;

.

Диагональные члены – описывают удлинение (растяжение). Другие компоненты – описывают деформацию сдвига.

Однородная деформация

Если деформация однородна, то все компоненты e_ij будут константами.

Тензор деформаций является симметричным, его можно привести к главным осям. Сдвиговые компоненты при этом исчезают.

.

Геометрический смысл главных деформаций можно понять, взяв единичный куб с ребрами, параллельными главным осям.

При деформации прямые углы между ребрами сохраняются, а длины ребер становятся равными

.

Определяющим свойством главных осей служит то, что они являются тремя взаимно перпендикулярными направлениями в теле, которые при деформации остаются взаимно перпендикулярными.

Изменение объема единичного куба называется объемным расширением.

Деформация – это реакция кристалла на воздействие. Величина и направление главных деформаций определяются как физическими свойствами и симметрией кристалла, так и величиной и направлением воздействия, т. е. тензор деформаций не обязан согласовываться с симметрией.

Однако деформация может быть вызвана изменением температуры. В этом случае воздействие является ненаправленным (скаляром) и результирующая деформация должна согласовываться с симметрией кристалла.