Уравнения Максвелла (интегральная и дифференциальная форма). Граничные условия. Материальные уравнения. Свойства уравнений Максвелла

Содер­жание этих уравнений заключается в следующем:

1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому кон­туру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограничен­ную данным контуром. При этом под Е понимается не толь­ко вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего равна нулю).2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверх­ность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому кон­туру равна полному току (току проводимости и току сме­щения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Первые 2 уравнения говорят о том, что электрическое по­ле может возникнуть по двум причинам: его ис­точником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные (это следует из уравнения V•D=ρ), если учесть, что D = ε₀Е + Р и V • Р = — ρ', тогда V • Еµ(ρ+ρ'); поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле. Следующие2 уравнения говорят о том, что магнитное по­ле В может возбуждаться либо движущимися электричес­кими зарядами, либо перемен­ными электрическими полями, либо тем и другим одновре­менно (это следует из уравнения ÑхH = j+дD/дt, если учесть, что Н = В/μ₀ —J и Ñх J = j', тогда ÑхВµj+j'+дP/дt+e₀дЕ/дt, где j' — плотность тока намагни­чивания; дР/дt — плотность тока поляризации. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток — с изменяющимся во времени полем Е). Никаких ис­точников магнитного поля, подобных электрическим заря­дам, в природе не существует, это следует из уравнения V • В = 0. Путем решения ур–ий Максвелла в дифференциальной форме могут быть найдены поля Е и В. Ур–ия Максвелла в дифференциальной форме со­вместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца dp/dt=qE + q[vB] составляют фундаментальную систему уравнений. Эта сис­тема достаточна для описания всех электро­магнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.

Граничные условия.Уравнения Максвелла в интег­ральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачко­образно. Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений: D_1n = D_2n, E_1T = E_2T, B_ln = B_2n, Н_1T = Н_2T.

(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости).

Материальные уравнения.Фундаментальные уравне­ния Максвелла еще не составляют полной системы уравне­ний электромагнитного поля. Их необходимо дополнить соотно­шениями, в которые входили бы величины, характеризую­щие индивидуальные свойства среды – материальными ур–иями. Они наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. Для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид: D=εε₀E,В=μμ₀Н, j =σ(E+E*), где ε, μ, σ — известные постоянные, Е* — напряженность поля сторонних сил.

Свойства ур–ий Максвелла. 1.Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов j. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.2.Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.3.Ур–ия Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они релятивистски инвариантны. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу.