ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок; недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от заданной нагрузки.

Вычисленные напряжения позволяют проверить прочность систе­мы. Однако весьма" прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости. Если балка под на­грузкой сильно прогибается, то при эксплуатации сооружения, имею­щего гибкие балки, появятся затруднения и, кроме того, могут воз­никнуть колебания балки с большими амплитудами, а вместе с тем и значительные дополнительные напряжения. Для проверки жесткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек ее оси.

 

В настоящей главе рассмотрим только такие балки, у которых поперечное сечение имеет ось симметрии, а все силы, действующие на балку, лежат в плоскости, совпадающей с этой осью.

На рис. 222, а показана изогнутая балка, заделанная одним кон­цом. В результате изгиба ось балки становится криволинейной. Точка К, лежащая "ha оси в сечении, отстоящем на расстоянии г от начала координат, переместится в точку К'- Обозначим перемещение произ­вольной точки оси бруса в направлении оси у через и, а перемеще­ние вдоль оси бруса — через и. Если веточке К' провести касательную к оси изогнутой балки, то по отношению к первоначальной оси она будет повернута на некоторый угол (р. Три величины — о, и ичр —

являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки. Определение этих компонентов во всех точках оси балки и составляет задачу настоящей главы.

Проверка жесткости балок сводится к требованию, по которому наибольший прогиб v_max не должен превышать определенной доли пролета:

fmax = U т.

Число т устанавливается нормами проектирования примерно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных сооружений, например для железнодорожных мостов, величина т принимается около 1000.

Отсюда видно, что прогибы при изгибе, как правило, малы по сравнению с пролетом балки.

Это позволяет ввести некоторые упрощения. Во-первых, при малых прогибах v угол наклона касательной к оси изогнутой балки можно определять с помощью выражения

ф~йя>-й- (^9J)

Во-вторых, горизонтальными перемещениями и можно пренебречь, так как по сравнению с v они будут величинами второго порядка малости.

В самом деле, рассмотрим, например, балку длиной /, заделанную одним концом (рис. 223). Предположим, что она изогнулась по окруж­ности. Вертикальное и горизонтальное перемещения свободного конца равны:

v = R (I — cos a); u = l — Rs'm а,

где R = На — радиус кривизны;

а — угол поворота концевого сечения.

Разложим cos а и sin а в ряд и ограничимся ввиду малости а двумя членами ряда:

co$a^=i 1 — "-;

^" 6' После подстановки получим:

Отсюда следует, что v и а — величины одного порядка, а и имеет более высокий порядок малости.

Пусть, например, v = //100, тогда a = 1/50, аи— //15000, т. е. горизонтальное перемещение в 150 раз меньше, чем вертикальное. Поскольку допускаемый прогиб обычно меньше, чем //100, разница

жду и и I¹ б реальных конструкциях еще больше, пшшм; _D^_(!. .. .. можно пренебречь.

На рис. 222, б показана условная схема перемещений. Считается, :о каждая точка перемещается только по вертикали.

Для определения полной картины деформаций необходимо полу-хть уравнение оси изогнутого бруса

v = v(z). (9.2)

Если функция и (г) известна, то, определив прогибы в ряде точек, южно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, ;оторый позволит судить о жесткости балки. Вместе с тем во многих адачах бывает необходимо определять углы поворота. Эта задача )стречается главным образом при расчете статически неопределимых :истем, которые имеют большое распространение в строительной трактнке.