di=*±)irjdz + C- <а)
Это выражение определяет закон изменения углов поворота касательной по длине балки.
После повторного интегрирования находим уравнение оси изогнутого бруса:
и = ± JJjg clzdz + Czi D. (б)
Для вычисления интегралов, входящих в выражения (а) и (б), необходимо сначала написать аналитические выражения изгибающего момента и жесткости. Постоянные интегрирования С и D находятся
из граничных условий, которые зависят от способов закрепления бруса.
Для уяснения сказанного рассмотрим примеры.
1. Составить выражение прогиба и угла поворота в произвольном сечении консольной балки, загруженной силой Р (рис. У
227). Рассматривая равно- 2 ' '"
весне правой отсеченной части, найдем
М = — р (I - z).
Знак минус взят потому, что нижние волокна балки сжаты. Так как ось
О у направлена кверху, то в правой части дифференциального уравнения (9.5) надо взять знак плюс:
Для нашего случая имеем
d-v _ _Р(1-г)
d*> ~ ej ■
Предположим, что жесткость балки постоянна. Интегрируя один раз, получим
Интегрируя еще раз, имеем
Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных будем иметь следующие граничные условия:
при z = 0 ~=0;
при z = 0 V — 0.
Из уравнения (в) видно, что постоянная С представляет собой угол поворота в начале координат. Положив г = 0, находим С —' 0. Из уравнения (г) следует, что постоянная D — это прогиб в начале координат. Положив в уравнении (г) г = 0, получаем D — 0.
Итак, имеем:
-•_ _^£i I Рг:!.
" ~ ~ ~ШТ ^ ЩГТ;
_ dv ___ Plz Pi*
У~~ dz~~~ EJ +2£74
Из рис. 227 видно, что наибольший прогиб будет под грузом. Положив г — I, из первого уравнения найдем
Р1»
Угол поворота на конце балки
Р1* ¥'=—-2£7-
Знак минус у прогиба свидетельствует о том, что его направление не совпадает с положительным направлением оси у, минус в выражении угла поворота показывает, что касательная не проходит в положительной четверти осей координат.
2. Определим прогибы двухопорной балки постоянного сечения, показанной на рис. 228.
Так как ось у направлена вниз, то в дифференциальном уравнении необходимо взять знак минус: cPv _ М dz* ~" ~ EJ •
Изгибающий момент в произвольном сечении равен
Таким образом, дифференциальное уравнение запишется в следующем виде:
EJ dz, = — 2 <?^ + -2 <7* • Последовательное интегрирование дает:
Е/Ф-£/£ — *? + £ +С; (д)
EJv = -*£ + -Ij + Cz + D. (e)
Для определения двух постоянных С п D необходимо иметь два условия. В рассматриваемом случае на левом и на правом концах прогиб равен нулю. Таким образом, граничные условия равны: при г = 0 v — 0; при г = / v — 0.
Подставляя в уравнение (е) г — 0 и приравнивая прогиб нулю, получим DO; подставляя в это же уравнение г — I и также приравняв прогиб нулю, имеем
-''''^"''-^cv-'o
12 ' 24 ' ь'-и' 218
• Следовательно,