Кристаллические решетки

1.1.Классификация кристаллических решеток

Кристаллическая решетка - это пространственная сетка, в узлах которой расположены частицы (атомы, молекулы, ионы), образующие кристаллы.

В основе кристаллической решетки лежит элементарная кристаллическая ячейка - параллелепипед с характерным для данной решетки расположением атомов.

Французский кристаллограф О. Браве в 1848 году основал геометрическую теорию структуры кристаллов, в зависимости от соотношения величины и взаимной ориентации ребер элементарной кристаллической решетки, существует 14 типов кристаллических решеток (решетки Браве).

Различают примитивные (простые), базоцентрированные, объемно-центрированные и гранецентрированные решетки Браве.

Если узлы кристаллической решетки расположены только в вершинах параллелепипеда элементарной сетки, то решетка называется примитивной (простой) (рис.1.1.а); если, кроме того, есть узлы в центре оснований параллелепипеда – базоцентрированной (рис.1.1.б); если есть узлы в месте пересечения пространственных диагоналей – объемно-центрированной (рис.1.1.в); если есть узлы в центре граней – гранецентрированной (рис.1.1.г).

1) По форме ячейки в зависимости от углов между гранями a,b,и величины ребер a,b,c различают 7 кристаллических схем (рис.1.2): а) правильная или кубическая; б) гексогональная (прямая призма, в основании ромб с углами 60⁰ и 120⁰, высота призмы не равна стороне ромба); в) тетрагональная (прямоугольный параллелепипед, в основании – квадрат); г) тригональная (ромбоэдрическая) – ромбоэдр, a=b=; д) ромбическая (прямоугольный параллелепипед с разной длиной ребер); е) моноклинная (наклонный параллелепипед, две пары граней – прямоугольники); ж) триклинная (параллелепипед).

Сложная структура кристалла может быть представлена как совокупность маленьких решеток Браве, вдвинутых одна в другую.

Расположение частиц в узлах кристаллической решетки одинаково по всему объему кристалла. В жидкостях и аморфных телах имеет место ближайший порядок расположения частиц, по отношению к любой частице расположение ближайших соседей является упорядоченным, по мере же удаления от этой частицы расположение по отношению к ней других частиц становится все менее упорядоченным.

1.2. Симметрия кристаллов

В природе часто встречаются кристаллы с правильной внешней формой в виде многогранников, в которых равнозначные грани и ребра периодически повторяются, то есть кристалл обладает симметрией.

Симметрия подразумевает наличие в объектах чего-то неизменного, инвариантного по отношению к некоторым преобразованиям. Для геометрических фигур симметрия – это свойство содержать в себе равные и однообразно расположенные части. Поворотом вокруг какой-либо оси, отражением в точке или в плоскости фигура может быть совмещена сама с собой. Такие операции называют симметрическими преобразованиями, а геометрический образ, характеризующий отдельное симметрическое преобразование – элементом симметрии. Каждая фигура имеет, по крайней мере, одну точку, которая остается на месте при симметрических преобразованиях. В этом смысле кристаллы обладают точечной симметрией. В кристаллах число элементов симметрии ограничено, различают зеркальную плоскость симметрии, поворотную ось симметрии (прямую и зеркальную), центр симметрии или центр инверсии.

Зеркальная плоскость симметрии соответствует прямому отражению в плоскости, как в зеркале. Такая плоскость делит тело на две равные части, совпадающие друг с другом всеми своими точками при отражении в этой плоскости.

Прямая поворотная ось симметрии – прямая линия, при повороте вокруг которой на долю окружности, равную 1/n, где n – порядок оси, фигура совмещается сама с собой всеми своими точками. Так, при наличии в фигуре оси шестого порядка (n=6) поворот равен 60⁰. Кроме прямых поворотных осей различают еще зеркально-поворотные оси, сочетающие одновременно действие поворота вокруг оси на долю окружности 1/n и отражение в перпендикулярной ей плоскости.

Центр симметрии, или центр инверсии, - особая точка внутри фигуры, при отражении в которой фигура совмещается сама с собой, то есть операция инверсии состоит в отражении фигуры в точке, фигура после отражения получается перевернутой и отраженной.

В кристаллах встречаются оси симметрии только пяти различных порядков (первого, второго, третьего, четвертого и шестого). Оси пятого, седьмого и выше порядков в кристаллах запрещены, так как их существование не совместимо с представлением о кристаллической решетке.

Полную совокупность элементов симметрии, характеризующую симметрию объекта, называют классом симметрии. Установлено 32 класса симметрии кристаллов.

В пространственной решетке добавляется еще один элемент симметрии – трансляция , которая действует на всю решетку (а не на точку), при перемещении решетки на трансляцию в направлении вектора трансляции решетка совмещается сама с собой всеми своими точками. Комбинация трансляции с элементами симметрии, характерными для кристаллов как конечных фигур, дает новые виды элементов симметрии. Такими элементами являются: поворот вокруг оси + параллельный перенос = винтовая ось; отражение в плоскости + параллельный перенос вдоль плоскости = плоскость скользящего отражения.

Действие плоскости скользящего отражения сводится к отражению исходной точки в плоскости (как в зеркале) и одновременному переносу ее вдоль плоскости на величину, равную половине трансляции 1/2Т параллельной плоскости.

Действия винтовой оси сводится к повороту исходной точки вокруг оси на долю окружности, равную 1/n, где n – порядок оси, и одновременному ее смещению вдоль оси на Т/n , причем поворот на 360⁰ приводит к смещению исходной точки вдоль оси на расстояние, равное трансляции Т.

Винтовые оси возможны второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Винтовая ось первого порядка эквивалентна простому перемещению (трансляции).

Существует 230 пространственных групп симметрии, каждая определенным образом распределяется по 32 классам точечной симметрии. Для перехода от пространственной группы к классу симметрии нужно все элементы симметрии пространственной группы провести через одну точку и считать винтовые оси поворотными осями одинакового наименования, а плоскости скользящего отражения – зеркальными.

1.3. Обозначение плоскостей и направлений в кристалле

Выберем систему координат с осями, совпадающими с тремя ребрами элементарной кристаллической сетки, начало координат находится в одном из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра, а осевые единицы соответствуют длине ребер кристаллической сетки (рис.1.3.). Масштаб по оси х равен длине ребра элементарной ячейки a; по y – b; по z – с. Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками. В выбранной системе координат в качестве трех таких точек берут точки пересечения заданной плоскости с осями координат.

Пусть узловая плоскость S пересекает оси координат в точках А,В,С и отсекает по осям отрезки m,n,p , причем m=OA/a; n=OB/b; p=OC/c.Отношение обратных величин осевых отрезков имеет вид h:k:=1/m:1/n:1/p ,где h,k, -индексы Миллера. Для их нахождения отношение 1/m:1/n:1/p приводят к общему наименьшему знаменателю и отбрасывают его. Например, 1/m:1/n:1/p=1/5:1/2:1/7=14/70:35/70:10/70=14:35:10, т.е. h=14; k=35; =10. Плоскость S обозначают (14,35,10).

Если плоскость S параллельна какой-либо оси, то соответствующий ей индекс h,k, равен нулю, и если индекс отрицательный, знак “минус” ставится над ним: (1,,3).

Некоторые плоскости, различающиеся по индексам Миллера, являются эквивалентными (например, в кубе грани (1 0 0 ), ( 0 1 0 ), (0 0 1), (0 0), (0 0), (0 0 ) ). Эти плоскости могут быть совмещены друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90⁰. Эти плоскости обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки, и, следовательно, одинаковыми физическими свойствами. Семейство эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками: {100}. Плоскости (hk) и () неэквивалентны, поэтому семейство включает в себя 6 (a не 12) различных систем плоскостей (рис.1.4).

Индексы направления в кристалле представляют собой набор наименьших чисел u,v,w, отношение которых друг к другу равно отношению проекций вектора, параллельного заданному направлению, на кристаллографические оси координат (рис.2). Эти индексы заключаются в квадратные скобки [uvw]. Семейство эквивалентных направлений обозначается ломаными скобками <uvw>.

Символика Миллера применяется для всех кристаллографических систем, кроме гексагональной. Кристаллы гексагональной системы описываются с помощью четырех координатных осей x₁ , x₂ , x₃ , z. Оси x₁, x_2, x₃ имеют одинаковый масштаб, угол между ними 120⁰. Ось z перпендикулярна к плоскости (x₁, x₂, x₃. В гексагональной системе применяются индексы Миллера - Браве. Принцип определения этих индексов в тот же : если осевые отрезки m, n, q, p, то индексы Миллера - Браве: h:k:i: =1/m:1/n:1/q:1/p.

При этом =-( h+k ). Это можно показать геометрически (угол между (x₁,x₂); (x₂, x₃); (x₃,x₁) равен 120⁰). Это дает возможность не писать третий индекс и свести индексы Миллера – Браве к индексам Миллера (рис.1.5).