Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Естественно связать с движением микрочастицы, например, вдоль оси x, не непрерывную бесконечную волну, а цуг волн, имеющий ограниченную протяженность Δx в пространстве (рис. 81.1). В теории волн доказывается, что такой цуг должен представлять пакет монохроматических волн с частотами в интервале от ω до ω + Δω (или с волновыми числами от k до k+ Δk), причем

Рис. 81.1

(81.1)

Это соотношение справедливо для любых волновых процессов.

Для волны де Бройля — микрочастицы, движущейся вдоль оси x с импульсом p

откуда

(81.2)

Подставляя формулу (81.2) в неравенство (81.1), получаем

(81.3)

В неравенстве (81.3) Δx — интервал координат, в котором локализована движущаяся микрочастица, описываемая волной де Бройля; Δp — интервал, в котором заключен импульс микрочастицы. Формулу (81.3) называют соотношением неопределенностей Гейзенберга. Оно показывает, что координата x микрочастицы и ее импульс p не имеют одновременно значений, равных x и p. Их значения определены лишь с некоторой степенью точности. Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношением Гейзенберга (81.3).

Возникает вопрос, почему в классической физике соотношение (81.3) не играет никакой роли и движущаяся макрочастица имеет определенные значения координаты и скорости. В качестве примера рассмотрим пылинку массой 10^–13 кг и размером 1 мкм = 10^–6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размера, т. е. . Согласно формуле (81.3),

откуда

Легко сообразить, что эта неопределенность скорости практически не сказывается при всех скоростях, с которыми движется такая макрочастица. Поэтому, в отличие от квантовой механики, в классической механике применимы понятия координаты и скорости.

Пример 81.1. Определить относительную неопределенность импульса движущейся частицы, если неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.

Дано:

Решение

– ?

Ответ:

Пример 81.2. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,2 нм.

Дано: l = 0,2 нм

Решение

E_min– ?

Ответ: