Микрочастица в потенциальном ящике

 

Рассмотрим движение микрочастицы в потенциальном поле U(x) при условиях

 

и (83.1)

 

и (83.2)

 

В этом случае говорят, что микрочастица движется в одномерном потенциальном ящике (рис. 83.1).

В пределах ящика потенциальная энергия микрочастицы U = 0 и уравнение Шредингера имеет вид

 

(83.3)

 

при граничных условиях

Рис. 83.1

 

(83.4)

 

(83.5)

 

Обозначим

 

(83.6)

 

где k — волновое число волны де Бройля для микрочастицы внутри потенциального ящика. Общее решение уравнения

 

 

запишем в виде

 

 

где A и B — постоянные.

Используя граничные условия (83.4) и (83.5), получаем

 

 

откуда A = 0.

 

 

откуда следует, что число k принимает лишь определенные дискретные значения k_n, удовлетворяющие условию

 

или

(83.7)

 

где n = 1, 2, 3, … .

Следовательно, волновая функция внутри потенциального ящика имеет вид

 

(83.8)

 

Подставляя выражение (83.7) в соотношение (83.6), получаем очень важный результат:

 

(83.9)

 

т. е. энергия E микрочастицы в потенциальном ящике не произвольна. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений E_n.

Физические величины, принимающие лишь определенные дискретные значения, называются квантованными. Таким образом, энергия микрочастицы, находящейся в потенциальном ящике, является квантованной. Квантованные значения E_n называют уровнями энергии, а число n, определяющее энергетический уровень микрочастицы, — квантовым числом.

Отметим, что микрочастица, двигаясь в потенциальном ящике с потенциальным барьером конечной высоты U₀, даже имея энергию
E < U₀, может пройти сквозь потенциальный барьер (рис. 83.2). Это явление называют туннельным эффектом. Расчет дает, что вероятность туннельного эффекта

 

Рис. 83.2

 

(83.10)

 

где L — ширина потенциального барьера.

Туннельный эффект осуществляется только в тех случаях, когда ширина L потенциального барьера соизмерима с атомными размерами. Например, при и для электронов с

 

 

 

Пример 83.1. Микрочастица находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что микрочастица, находящаяся в первом возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружена в средней части ширины ящика.

Дано:   l   n = 2	Решение     Используя условие нормировки вероятности, найдем B: .
P – ?

 

 

 

 

Ответ: P = 0,195.