Хотя теория Бора даёт хорошие результаты для водородоподобных атомов, она не может рассматриваться как законченная теория атомных явлений.
С позиций современной физики атом является физической системой, которая заведомо не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона, так как длина волны де Бройля такого электрона сравнима с размерами атома.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром водородо- подобного атома
, где
r – расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении
будем считать точечным.
Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме.
Спектр энергий электрона должен быть дискретным, т.е. состоять из отдельных энергетических уровней со
значениями полной энергии электрона Е1; Е2; Е3 и т.д.
Уравнение Шрёдингера имеет вид
Решение этого уравнения проводят в сферической системе координат r, θ, φ , центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе
Ψ = Ψ(r, θ, φ) , а оператор Лапласа
, где ,
Используя оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат
уравнение Шрёдингера преобразуют к виду
Решение этого уравнения ищут в виде произведения двух функций с разделяющимися переменными
Ψ = X( r ) . Y( θ, φ ).
C учётом естественных требований, налагаемых на Ψ-функцию она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой.
В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любыхположительных значениях энергии Е , но вобласти отрицательных значений Е – только при дискретных значениях, а именно, если
, где п = 1; 2; 3; … ,
что соответствует связанным состояниям электрона в атоме.
Таким образом решение уравнения Шрёдингера приводит в случае Е< 0 к тому же результату, что и теория Нильса Бора но без использования каких либо дополнительных постулатов.
Основное различие заключается в интерпретации состояний электрона: в теории Бора – это движение по стационарным круговым орбитам, а в решении уравнения Шрёдингера орбиты теряют физический смысл – их место занимают Ψ-функции.