Распределение Гаусса является предельным случаем распределения Пуассона и многих других законов распределения.
Рассмотрим распределение Пуассона при больших n и n0. Дискретность распределения в этом случае теряет свое значение, т.к. n меняется практически непрерывно.
Будем характеризовать отклонение n от n0 помощью e, определенного соотношением
Ограничимся рассмотрением случая, когда e áá 1.
Подставляя формулу Стирлинга
в (4), найдём
,
откуда
Вспоминая теперь, что, а (n – n0) просто равно отклонению n от среднего значения n0, получим закон распределения Гаусса, описывающий поведение непрерывных величин,
(8)
С помощью формулы (8) нетрудно найти вероятность того, что значение х измеренной величины лежит между X1 и Х2:
(9).
Интеграл (9) не сводится к элементарным функциям. Он выражается обычно через функцию Ф(х):
(10)
Как нетрудно убедиться,
(11)
Определенная формулой (10) функция Ф является функцией только х. Эта функция изображена на рис. 2 для х>0. Значения Ф(х) при х<0 находятся с помощью соотношения
Ф(–х) = – Ф(х) (12).
Оценки для вероятности отклонения на s и 2s легко получить с помощью формул (11) и (12) и графика функции Ф(х) на рис.2.