Формулы Найквиста

Электроны, находясь в проводящей среде, испытывают со стороны этой среды беспорядочные толчки, как и броуновская частица. Под действием этих толчков они совершают такое же беспорядочное движение. Чем интенсивнее эти толчки, тем более беспорядочным становится движение электрона, тем труднее электрону двигаться в направлении, задаваемым внешним электрическим полем, и тем больше тогда электрическое сопротивление среды. Поскольку электроны обладают зарядом, то, даже в отсутствие внешнего электрического поля, это беспорядочное движение приводит к появлению хаотического тока, среднее значение которого, естественно, равно нулю. Однако дисперсия этого тока и его спектральная плотность отличны от нуля.

Найквист, анализируя это движение в резисторе с сопротивлением R, в 1927 году получил выражение для спектральной плотности мощности хаотического напряжения, возникающего на концах разомкнутого резистора в следующем виде: . Если резистор замкнуть, то в его цепи возникнет беспорядочный ток. Спектральная плотность мощности этого тока имеет следующий вид: .

Замечание. При отсутствии реактивных элементов в цепи (емкости или индуктивности) спектральная плотность теплового шума остается постоянной вплоть до частот порядка 10¹² Гц. Флуктуации с постоянным (однородным) шумовым спектром часто называют “белым шумом”.

Приведенные формулы получили название формул Найквиста. Впервые тепловые шумы измерил в 1927 году Джонсон. Этот вид шумов был предсказан Эйнштейном именно на основании анализа броуновского движения электронов.

Зная спектральную плотность напряжения или тока, можно найти их среднеквадратические значения в полосе частот Df=f₂–f₁: , .

Поскольку спектральная плотность в формуле Найквиста постоянна, то и . Эти формулы также называют формулами Найквиста.

Проведем численную оценку результата измерения напряжения на разомкнутом резисторе. Пусть R=1МОм , Т=300⁰С и Df =100Гц. Поскольку k=1,38×10^-23Дж/K, найдем U_ш » 1,3×мкВ. Это – вполне заметная величина.

Легко видеть, что, измеряя шумовое напряжение, можно определить и температуру резистора. На этом принципе в настоящее время создано целое направление в измерительной технике – шумовая термометрия. Отметим, что совсем недавно американские ученые создали прибор для измерения сверхнизких температур с рекордной точностью, на основе измерения тепловых шумов тока, проходящего через контакт двух металлов.