Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим

Общее правило выравнивания состоит в следующем.

В каждое теоретическое распределение ( в его дифференциальную или интегральную функции) входит несколько величин, называемых параметрами ( математическое ожидание, дисперсия и др.). Так как эти величины априори неизвестны, то их необходимо определить по эмпирическому распределению, подставить в функцию плотности вместо теоретических значений этих величин, а затем рассчитать вероятности середин всех интервалов. Умножив эти вероятности на число опытов, получим теоретические значения частот случайной величины, которые дают выровненную кривую. Для примера рассмотрим выравнивание эмпирического распределения по нормальному закону (Гаусса).

Данный закон двухпараметрический. Поэтому предварительно необходимо вычислить среднее значениеи среднее квадратическое отклонение .

Для вычисления воспользуемся данными, приведенными в табл. 5.

Определяем = -0,0284 и S= 0,0515.

Подставляем эти значения в функцию плотности (12), заменяя на ина .

Результаты выравнивания приведены в табл. 10. Сделаем некоторые пояснения к этой таблице.

В колонке 5 определяется ,

где - середина i-го интервала;

- среднее значение;

- среднее квадратичное отклонение.

По вычисленным значениям в приложении 1 находим значения , которые проставляются в колонке 6.

Таблица 10

Номер интервала (№)	Середина интервала xi	Эмпирические частоты mi				Вероятность интервалов	Теоретические частоты mi
	-0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12		-0,1116 -0,0916 -0,0716 -0,0516 -0,0316 -0,0116 0,0084 0,0284 0,0484 0,0684 0,0884 0,1084 0.1284 0,1484	-2,17 -1,78 -1,39 -1,00 -0,61 -0,23 0,16 0,55 0,94 1,33 1,72 2,10 2,49 2,88	0,0379 0,0818 0,1736 0,2420 0.3332 0,3885 0,3939 9,3429 0,2565 0,1647 0,0909 0,0440 0,0180 0,0063	0,01472 0,03177 0,06742 0,09398 0,12940 0,15087 0,15297 0,13317 0,0996 0,07396 0,.03530 0,.01709 0,00699 0,0063	2,94 6,35 13,48 18,80 25,88 30,17 30,59 26,63 19,92 14,79 7,06 3,42 1,40 0.49
Сумма

Вероятность каждого интервала (при расчетах полагаем, что все значения интервала сосредоточены в его середине) равна ,

где h=0,02-ширина интервала.

Например, .

Значения приведены в колонке 7.

Умножая на ,получаем значения частот кривой, выровненной по закону Гаусса (колонка 8).

 

Графики эмпирической и выровненной кривых строятся в координатах:

m_{i -} № интервала; m_{i --} № интервала