Распределение Больцмана

Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const:

 

P = nkT;

(18.1)

 

P0 = n0kT.

(18.2)

 

Преобразуем далее показатель степени в (17.3) следующим образом:

 

.

(18.3)

 

гдеDWp — изменение потенциальной энергии молекулы при изменении высоты в поле тяжести Земли.

Подставляя (18.1) – (18.3) в (17.3), получим

 

.

(18.4)

 

Это и есть распределение Больцмана для частиц, находящихся в потенциальном поле. Хотя эта формула выведена нами для частного случая распределения молекул в поле тяжести Земли, она имеет универсальный характер — описывает распределение частиц по энергиям в любом потенциальном поле (например, для зарядов в электростатическом поле).

Если потенциальную энергию отсчитывать от нуля, то

 

.

(18.5)

 

Рис. 18.1

График распределения Больцмана показан на рис. 18.1. Видно, что с ростом потенциальной энергии частиц их концентрация убывает. Таким образом, в распределении Больцмана проявляется принцип минимума энергии, который гласит, что любая физическая система стремится занять состояние с наименьшей потенциальной энергией.

 

 

ІV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ