Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа

Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в пространстве изменяются три координаты x, y и z.

Рис. 21.1

Система из двух материальных точек, расстояние между которыми остаётся постоянным, имеет пять степеней свободы: три из них приходятся на поступательное движение и две — на вращательное вокруг осей x и z (рис. 21.1). Вращение вокруг оси y не даёт дополнительной степени свободы, так при этом положение материальных точек в пространстве не изменяется.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна 3/2 kТ — формула (15.11). Это движение можно рассматривать как движение с тремя степенями свободы, поскольку молекулы идеального газа можно принять за материальные точки. Все три степени свободы равноправны, поэтому можно считать, что на одну степень свободы приходится энергия

 

.

(21.1)

 

В статистической физике доказывается, что на любую степень свободы движения молекулы (поступательную, вращательную и т.д.) приходится одна и та же энергия, равная 1/2 kТ. Это утверждение носит название закона равнораспределения энергии по степеням свободы.

В общем случае, когда молекула имеет i степеней свободы, её кинетическая энергия

 

.

(21.2)

Подсчитаем теперь внутреннюю энергию одного киломоля идеального газа. Эта энергия может быть найдена умножением средней энергии одной молекулы на их число, т.е. число Авогадро:

 

.

 

Поскольку kNA=R, где R — универсальная газовая постоянная, то

 

.

(21.3)

 

Из (21.З) видно, что внутренняя энергия идеального газа полностью определяется его температурой.

 

22. Классическая теория теплоёмкости газов

Различают молярную теплоёмкость С (количество теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К) и удельную теплоёмкость (рассчитывается на единицу массы). Между молярной С и удельной С0 теплоёмкостью существует связь C=mC₀, где m — молярная масса.

Для газа существенно, каким образом происходит его нагревание, поэтому различают:

1) теплоёмкость при изотермическом процессе ;

2) теплоёмкость при изохорном процессе ;

3) теплоёмкость при изобарном процессе .

При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому .

При изохорном процессе dQ=dU, так как работа в таком процессе не совершается, поэтому

(22.1)

и, следовательно,

dU=CVdT.

(22.2)

 

Теплоёмкость при постоянном давлении

 

.

(22.3)

 

Представим с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона элементарную работу, совершаемую одним молем идеального газа при изобарном процессе в виде

dA=PdV=RdT.

(22.4)

 

Подставив (22.4) в (22.3), получим формулу Майера

 

CP = CV+R,

(22.5)

 

т.е. C_P >C_V на величину универсальной газовой постоянной.

Выразим теперь молярные теплоёмкостиCVи CP через число степеней свободы. С учётом(2I.3), из (22.3) следует

 

.

(22.6)

 

ЗнаяCV, из формулы Майера находим

 

.

(22.7)

 

Отношение

 

(22.8)

 

называется коэффициентом Пуассона. Этот коэффициент с помощью (22.6) и (22.7) можно выразить через число степеней свободы

 

.

(22.9)

 

Для одноатомного газа(i=3)g = 1,67; для двухатомного (i=5) g= 1.40; для многоатомного(i=6)g= 1,33.