Соударения

Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел — соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непосредственном контакте. В процессе соударения твёрдые тела деформируются, в них возникают мгновенные ударные силы, величина которых может быть очень большой. Полный расчёт ударных сил весьма сложен, однако, значительный объём информации можно получить, описываясоударения только с помощью законов сохранения импульса и энергии.

Упругий удар.Абсолютно упругим называется такой удар, в котором не происходит превращение механической энергии соударяющихся тел в другие виды.

Рис. 3.5

Рассмотрим в качестве простейшего примера прямой центральный удар, в котором центры масс двух тел движутся вдоль одной прямой — рис. 3.5.

Пусть. Тогда в какой-то момент времени первое тело нагонит второе и произойдёт столкновение. В момент удара кинетическая энергия тел частично превратится в потенциальную энергию упругой деформации, а затем силы упругости возвратят телам прежнюю форму. При этом потенциальная энергия упругой деформации в эквивалентном количестве превратится в кинетическую. Так как в процессе соударения участвуют только два тела, их можно считать замкнутой системой и использовать для описания процесса законы сохранения импульса и энергии.

На основании этих законов можно получить систему уравнений относительно скоростей и каждого из тел после удара:

Поскольку скорости направлены вдоль одной прямой, то векторы импульса можно складывать алгебраически. С учётом этого получим:

(3.8)

Поделив нижнее уравнение на верхнее, преобразуем нелинейную систему уравнений (3.8) в линейную:

решив которую, получим выражения для скоростей тел после удара:

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. m1=m2. Нетрудно видеть, что в этом случае и:

т.е. при упругом ударе тела одинаковой массы обмениваются скоростями и, следовательно, энергиями.

2. m1<<m2. В этом случае и . Если же большое тело покоилось то , т.е. малое тело "отразилось", не изменив модуля скорости и, следовательно, значения кинетической энергии. В то же время его импульс изменился на величину.Этот случай соударения будет использован нами при рассмотрении кинетической теории идеального газа.

Неупругий удар.Удар называется абсолютно неупругим, если соударяющиеся тела слипаются и движутся дальше вместе с некоторой общей скоростью u. Запишем законы сохранения импульса и энергии для этого случая:

(3.9)

где DW — часть кинетической энергии тел, превратившаяся во внутреннюю.

Из системы уравнений (3.9) следует:

;

(3.10)

(3.11)

Неупругие соударения широко используются в технологии обработки металлов ковкой: в этом случае необходимо создать такие условия, чтобы кинетическая энергия движущегося тела (молота) по возможности полностью затрачивалась на работу деформации второго тела (поковки). Такой процесс реализуется, если масса молотазначительно меньше массынаковальни вместе с поковкой. В этих условиях с учётом того, что наковальня покоится из (3.11) легко получить:

4. Вращательное движение твёрдого тела

4.1. Кинетическая энергия вращательного движения.
Момент инерции

Рассмотрим случай вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. При таком движении все точки твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых находятся на оси вращения — рис. 4.1. Что же касается точек, расположенных на оси вращения, то они остаются неподвижными.

Для нахождения кинетической энергии вращательного движения разобьём тело на n материальных точек. Кинетическая энергия i-ой материальной точки

Рис. 4.1

Линейные скорости различных точек вращающегося твёрдого тела различны, а угловые скорости одинаковы, поэтому, следовательно,

Просуммируем последнее выражение по всем материальным точкам:

Введём величину

(4.1)

которая называется моментом инерции. С учётом (4.1) кинетическую энергию вращательного движения твёрдого тела можно представить в виде:

(4.2)

Рис. 4.2

Из сопоставления (4.2) и (3.3) видно, что во вращательном движении момент инерции играет такую же роль, что и масса при поступательном движении. По этой аналогии моменту инерции можно придать следующий физический смысл: момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения.

Собственной осью вращения называется ось, проходящая через центр масс тела (ось СС — рис.4.2). Момент инерции тела относительно собственной оси вращения называется собственным.

Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси применяется теорема Штейнера:

Момент инерции I относительно оси, параллельной оси собственного вращения, равен собственному моменту инерции I₀ плюс произведение массы тела на квадрат расстояния до оси вращения — рис. 4.2:

I = I0 + ml².

(4.3)