Фермионы и бозоны
В квантовой механике все тождественные частицы (например,все электроны) считаются принципиально неразличимыми.
Следствием этого является существование 2-х типов волновых функций, описывающих состояние системыn тождественных частиц: симметричные и антисимметричные волновые функции.
Симметричные волновые функции не изменяют знак при перестановке любой пары частиц системы, а асимметричные волновые функции при перестановке двух частиц меняют знак на противоположный. Доказано, что система тождественных частиц описывается симметричной волновой функцией, если частицы имеют нулевую или целую (в единицах ћ) проекцию спина (n . ћ), и имеют антисимметричную волновую функцию, если частицы имеют полуцелую [(2n - 1) ћ /2] проекцию спина.
Частицы с целым и нулевым значением проекции спина называются бозонами (например, фотоны, некоторые ядра).
Частицы с полуцелыми (нечетное число ћ/2) значениями проекций спина называются фермионами (например, электроны, протоны).
6.4. Функции распределения Ферми –Дирака и Бозе –Энштейна
Фермионы и бозоны обладают различными свойствами.
Свойства фермионов:
1. Подчиняются принципу Паули: (в одном состоянии может находиться не более 1 частицы).
2. Система фермионов описывается статистикой Ферми – Дирака (см. рис.6.1)
распределение Ферми – Дирака, (6.1)
где fф – вероятность заполнения уровня одной частицей. 
- энергия i -го уровня, m - химический потенциал (см. ниже), k - постоянная Больцмана, Т - температура.
1. При малых значениях энергии: 
величина 
, и мы получаем, что вероятность заполнения уровня f=1, т. е. такие состояния с вероятностью f = 1 заполнены одной частицей (больше нельзя).(см рис.6.1.)
2. При 
вероятность заполнения лежит в диапазоне 
, следовательно уровни в окрестности m заполнены частично.
3. При 
величина 
, вероятность заполнения f » 0, уровни не заполнены (рис.6.1.).
Свойства бозонов:
1. Бозоны не подчиняются принципу Паули (в одном состоянии может быть много бозонов).
2. Система бозонов описывается статистикой Бозе – Эйнштейна (см. рис.6.2).
(6.2.)
У бозонов 
(т. к .иначе может быть 
, что лишено смысла)
Остановимся на физическом смысле химического потенциала. Первое начало термодинамики для системы с переменной массой имеет вид:
, (6.3)
где m dn - изменение энергии системы за счет изменения числа частиц dn.
Отсюда следует, что 
Физический смысл химического потенциала m заключается в том, что он численно равен изменению внутренней энергии системы при увеличении системы на 1 частицу при изохорно-изоэнтропийном процессе V = const, S = const (dQ= 0; dV = 0).