Квантовая теория теплоемкости Дебая

Дебай учел, что движение атомов в решетке не является независимым. Смещение одного атома приводит к смещению соседних, в результате по кристаллу распространяется волна колебаний – звуковая волна. (При отражении от границ кристалла получается стоячая волна).

Дебай впервые связал теплоемкость с возбуждением звуковых волн в кристалле.

Упругие волны в кристалле квантуются. Существует наименьшая порция – квант энергии колебаний (W=hn, где n – частота колебаний, h – постоянная Планка).

Кванты (порции) звуковых колебаний решетки называют фононами. Фононы – квазичастицы, они существуют только в кристалле.

Энергия фонона W=hn , квазиимпульс фонона Р= hn/v_зв направлен вдоль направления распространения звуковой волны. v_зв – скорость звука.

Число независимых (нормальных) стоячих волн равно 3N – числу степеней свободы кристалла, где N – число атомов.

Из рис.7.1. видно, что минимально возможная длина волны в решетке соответствует случаю, когда два соседних атома колеблются в противофазе λ_min=2d=2(V/N)^1/3, где V – объем кристалла. Самой короткой длине волны λ_min соответствует самая высокая частота: n_max= v_зв/λ_min= v_зв(N/8V)^1/3– верхняя граница частот фононов.

Более точная формула имеет вид: n_max=v_зв(3N/4πV)^1/3. Спин фонона равен нулю. Они являются бозонами. Химический потенциал (могут испускаться и поглощаться без изменения внутренней энергии U). Следовательно, их распределение по энергиям:

f_T

f = [e^W^/^kT – 1]^-1=[exp (hn/kT) – 1]^–1 (7.2)

где W=hn - энергия фонона. Если с учетом функции распределения рассчитать внутреннюю энергию кристалла , а затем взять производную и вычислить теплоемкость одного моля C=∂U/dT, то получается:

C=3N_AkT(T/θ)³Ф(T/θ), (7.3)

где N_A – количество атомов в одном моле, k–постоянная Больцмана, Ф – некоторая функция (интеграл).

Величина θ=hυ_max/k называется характеристической температурой Дебая. (Ее физический смысл в том, что при низких температурах начинают проявляться квантовые эффекты и теплоемкость отличается от классической).

Рассмотрим частные случаи для формулы (7.3):

1) При T<< θ: функция Ф(T/θ)=const и мы получаем, что теплоемкость решетки С~T ³ , что сильно отличается от классической теории, но согласуется с экспериментом;

2) При T>> θ: Ф(T/θ) ~ (θ/T)³ и мы получаем для теплоемкости решетки C=3N_Ak=3R. Это соответствует классической теплоемкости Дюлонга и Пти.